课时作业3 正弦定理与余弦定理的综合(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(三)　正弦定理与余弦定理的综合 1．在△ABC中，已知A＝45°，AB＝，BC＝2，则AC为 (　　) A． B．1＋ C．1±　　　 D．2＋2 B　[由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即AC2－2AC－2＝0，解到AC＝1±.]，所以AC＝1＋ 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知C＝，a＝2，b＝3，则△ABC外接圆的半径为 (　　) A． B． C． D．7 A　[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×.]＝＝2R，∴R＝，由正弦定理＝7，∴c＝ 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2acos B＝c，则△ABC的形状一定是 (　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　[解法一：由正弦定理及2acos B＝c，得 2sin Acos B＝sin C．又A＋B＋C＝π， ∴2sin Acos B＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0，又－π<A－B<π， ∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形． 解法二：由余弦定理及2acos B＝c得2a·＝c， ∴a2－b2＝0，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．] 4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝＝ (　　) a，则 A．2 B．2 C． D． D　[由asin Asin B＋bcos2A＝.]＝sin A，∴sin A，即sin B＝a，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ 5．(多选题)在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 (　　) A． B． C． D． AB　[由正弦定理，得sin C＝，∵B＝30°，＝ ∴0°＜C＜150°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，S△ABC＝；bcsin A＝ 当C＝120°时，S△ABC＝.]bcsin A＝ 6．已知△ABC的面积S＝＝ .·，则，A＝ 2　[S＝，＝|sin ||||sin A，即||| 故||＝4，|| ＝2.]|cos A＝4cos ||＝|· 7．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝ . .＝＝，∴sin B＝＝　[由正弦定理得 ∵a>b，A＝60°，∴B为锐角，∴cos B＝.]＝＝ 8．(多空题)(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC＝ . 　[在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，　 由余弦定理得cos∠ABC＝，.又cos∠DBC＝cos(π－∠ABC)＝－cos∠ABC＝－×2×2×sin(π－∠ABC)＝2sin∠ABC＝BC·BD·sin∠DBC＝.∵点D在AB的延长线上，且BD＝2，∴在△BCD中，BC＝BD＝2，且∠DBC＝π－∠ABC，∴S△BDC＝＝，∴sin∠ABC＝ ∴DC2＝BD2＋BC2－2·BD·BC·cos∠DBC ＝22＋22－2×2×2×，＝10，∴DC＝ ∴cos∠BDC＝.]＝＝ 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝2＋2cos(A＋B)． (1)求证：b＝2a； (2)若c＝a，求角C的大小． (1)证明　由已知得 sin(2A＋B)＝2sin A＋2cos(A＋B)sin A． 即sin(A＋π－C)＝2sin A－2sin Acos C． ∴sin(C－A)＝2sin A－2sin Acos C． ∴sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin A． ∴sin(A＋C)＝2sin A， ∴sin B＝2sin A． 由正弦定理得b＝2a. (2)解　由余弦定理得cos C＝，故C＝120°.＝－＝ 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角C的度数； (2)AB的长度． 解　(1)∵cos C＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，∴C＝120°. (2)由题意，知 ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C ＝a2＋b2－2abcos 120° ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10. ∴AB＝. 1．钝角△ABC的面积为，则AC＝ (　　) ，AB＝1，BC＝ A．5 B