课时作业4 正弦定理与余弦定理的应用(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(四)　正弦定理与余弦定理的应用 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A．北偏东10°　 B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° B　[由题意可知，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，故A在B的北偏西10°.] 2．(多选题)某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为 (　　) A． B．2 C．3 D．3 AB　[依题意，由余弦定理，得(.]或x＝2x＋6＝0，解得x＝)2＝x2＋32－2x×3×cos 30°，即x2－3 3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于 (　　) A．30(－1) m＋1) m B．120( C．180(－1) m－1) m D．240( B　[由题可知，BC＝60tan 60°－60tan(90°－75°) ＝60－1)．]＝120(＝60 4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长 (　　) A．5 m B．10 m C．10 m m D．10 C　[如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m. 在△BAB′中，由正弦定理， 得BB′＝(m)． ＝10＝ ∴坡度要延长10 m．] 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°(即∠BAC＝45°)的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°(即∠ABC＝75°)的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝ . 400，∠ABC＝75°， m　[△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝600 ∴∠ACB＝60°， 由正弦定理得，＝ BC＝＝1 200， Rt△BCD中，∠DBC＝30°， ∴CD＝BCtan∠DBC＝1 200×，＝400 则山高CD为400 m．] 6．(多空题)甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为 ，乙楼高为 . 20(m)， m　[如图所示，在Rt△BAC中，∠BCA＝60°，AC＝20 m，∴AB＝AC·tan 60°＝20 m　 BC＝＝40 (m)． ＝ 在△BCD中，∠BDC＝120°， ∠DBC＝30°， 由正弦定理得，＝ DC＝(m)． ＝＝ ∴甲楼高为20 m．] m，乙楼高为 7．如图，位于A处的海上观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救，在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处援助，则sin∠ACB＝ . .]＝＝.由正弦定理得sin∠ACB＝　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，∴BC＝20 8．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求： n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 (1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． 解　由题意，画出示意图． (1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°， AB＝12 n mile. 由正弦定理得AD＝ ＝24(n mile)． (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30° ＝242＋(8＝192， ×)2－2×24×8 故CD＝8 n mile. 9．如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行20( 海里后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，此船应沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？ )海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行40－ 解　在△ABC中，AB＝20()，－ BC＝40，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°. 由余弦定理可得 AC＝ ＝ ＝40. 由正弦定理，得＝ sin∠BAC＝.＝＝ ∴∠BAC＝45°，75°－∠BAC＝30°. 即此船应沿北偏东30°方向航行，需要航行40 海里． 1．如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A