课时作业15 祖暅原理与几何体的体积(Word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时作业(十五)　祖原理与几何体的体积 1．圆锥的高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积(　　) A．缩小到原来的一半　 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的 A　[∵V锥＝V.∴圆锥的体积缩小到原来的一半．]＝πr2h＝2×2h＝π× 2．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6　　 　　 B．3 C．11　　 D．12 A　[设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.] 3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A．π B．2 C．ππ D． D　[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l， ∴l＝2，∴h＝. ∴V＝π.]＝π(1＋4＋2)× 4．一个平面截一球，得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离为4 cm，则该球的体积为(　　) A． cm3 cm3 B． C．π cm3 cm3 D． C　[由球的性质可知，球的半径R＝ (cm3)．]πR3＝＝5 (cm)，∴V球＝ 5．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是(　　) A．20ππ B．25 C．50π D．200π C　[设三棱锥的外接球半径为r，如图将三棱锥补成长方体，则有(2r)2＝32＋42 ＋52＝50，即 4r2＝50，故它的外接球的表面积S＝4πr2＝50π.] 6．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________. .]，即底面半径为πr2×4＝4π，解得r＝　[设底面半径为r，则 7．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，AA1＝3.则这个三棱柱的体积为________. .]×3＝.故这个三棱柱的体积为＝×3×　[由题意可知，S△ABC＝ 8．(多空题)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去一个三棱锥D1－ADC，则剩余部分的体积为________，点D到平面ACD1的距离为________. a　[∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，a3　 ∴VABCD－A1B1C1D＝a3. 由题意可知，D1D为三棱锥D1－DAC的高， ∴V三棱锥D1­ADC＝a3.×a2×a＝× ∴剩余部分的体积V＝a3－a3.a3＝ ∵正方体的棱长为a， ∴AC＝AD1＝CD1＝a，＝ ∴S△ACD1＝a2， a)2sin 60°＝( 又V三棱锥D1­ADC＝V三棱锥D­ACD1，∴S△ACD1h， a3＝ ∴h＝a， ＝ ∴点D到平面ACD1的距离为a.] 9．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的体积． 解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，体积为V， 则如图所示R＝OC＝2，AC＝4， AO＝.＝2 易知△AEB∽△AOC， ∴，＝，即＝ ∴r＝1，∴V＝πr2·π.＝ 10．已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高， ∴S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S上＋S下＝ (cm2)． ×(202＋302)＝325 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， ∴DD′＝ (cm)． 又∵O′D′＝ (cm)，×20＝ OD＝ (cm)，×30＝5 ∴棱台的高h＝O′O＝ ＝ (cm)，＝4 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝) (S上＋S下＋ ＝× ＝1 900 (cm3)． 1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π B　[设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r， 由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.] 2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A． B． C． D． B　[由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为.]＝×12×，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2× 3．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则此时容器中水的深度为(