专题04 导数应用-备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合

专题04 导数应用 【知识点梳理】一基础内容 1. 导数的定义： 设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。 在点处的导数记作 2．导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为 3．基本常见函数的导数: ①（C为常数） ② ③; ④; ⑤ ⑥; ⑦; ⑧. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：。 2.复合函数的导数 形如的函数称为复合函数。法则： . 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 （1）设函数在某个区间可导， 如果，则在此区间上为增函数； 如果，则在此区间上为减函数。 （2）如果在某区间内恒有，则为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时， ①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。函数 求函数的一般步骤：①求函数的导数，令导数解出方程的跟②在区间列出的表格，求出极值及的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值。 1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： （1）曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。 （2）若可导函数在处取得极值，则。反之不成立。 （3）对于可导函数，不等式的解是函数的递增（减）区间。 （4）函数在区间上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为）. （5）若函数在区间上有极值，则方程在区间上有实根且非二重根。（若为二次函数且，则有）。 （6）若函数在区间上不单调且不为常量函数,则在上有极值。 （7）若恒成立，则；若恒成立，则 （8）若使得，则；若使得，则. （9）设与的定义域的交集为，若恒成立，则有. （10）若对恒成立，则. 若对，使得，则. 若对，使得，则. （11）已知在区间上的值域为,在区间上值域为，若对使得成立，则。 （12）若三次函数有三个零点，则方程有两个不等实根且 （13）证题中常用的不等式: ①（仅当时取“”） ②（仅当时取“=”） ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 3. 函数与导数解答题常见题型的解法 （1）已知曲线（含参数）的切线方程为，求参数的值 【解法】先设切点坐标为，求出切线方程 再与已知切线方程比较系数得: , 解此方程组可求参数的值 （2）已知函数（含参数），讨论函数的单调性 【解法】先确定的定义域，并求出，观察能否恒大于或等于（恒小于或等于），如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令，求根.再分层讨论，是否在定义域内或讨论的大小关系，再列表讨论，确定的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题） （3）已知函数（含参数）在区间上有极值，求参数的取值范围. 【解法】函数在区间上有极值，可转化为方程在区间上有实根，且为非二重根。 从而确定参数（或其取值范围）。 （4）可导函数（含参数）在区间上无极值，求参数的取值范围 【解法】在区间上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在上恒成立 （5） 函数（含单个或多个参数）仅在时取得极值，求参数的范围 【解法】先由，求参数间的关系，再将表示成=，再由恒成立，求参数的范围。（此类问题中一般为三次多项式函数） （6） 函数（含参数）在区间上不单调，求参数的取值范围 【解法一】转化为在上有极值。（即 在区间上有实根且为非二重根）。 【解法二】从反面考虑：假设在上单调