2020-2021学年高二下学期数学第一周人教A版选修2-1空间向量及运算空间向量6空间位置关系与线线角课时作业

空间向量六 一、单选题 1．长方体中，，，是的中点，是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：依题意，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则 2．、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】 对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误； 对于B选项，若，，则或，B选项错误； 对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误； 对于D选项，设直线、的方向向量分别为、， 由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为， 因为，则，因此，，D选项正确. 3．如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（ ） A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【详解】 在点D处建立如图所示直角坐标系， 正方体的棱长为1，则，，设点， ，， ，， 化简得， 等式两边同时平方可得， ，上式表示椭圆，即点P的轨迹方程为椭圆. 【点睛】 (1)如果是标准方程，是椭圆方程；或，是双曲线方程； (2)如果是一般方程：，那么要看判别式的符号： ∆<0，是椭圆；(特殊情况：一点或无图形) ∆>0，是双曲线；(特殊情况：两相交直线) ∆=0，是抛物线；(特殊情况：两平行直线或一直线). 4．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 ，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件． 5．如图，正方体的棱长为a，E是DD1的中点，则（ ） A直线B1E平面A1BD B C三棱锥C1-B1CE的体积为 D直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为 【答案】D 【详解】 解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，，设面的法向量为，所以，取，则，所以，所以，当时，故不一定平行面，故A错误； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，故C错误； 面的法向量为，设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为，则，所以 所以，故D正确； 6．在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（ ） A．异面直线与所成角的大小为60° B．异面直线与所成角的大小为30° C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】C 【详解】 如图建立空间直角坐标系，连接， 则，，，，， 所以，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的大小为90°，故A、B错误； 又，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 则点到平面的距离为，故C正确，D错误. 二、填空题 7．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为___________. 【答案】平行 【详解】 因为， 且直线l在平面外， 所以直线l与平面平行. 8．在直三棱柱中，，，点E为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为______. 【答案】. 【详解】 设 ，则，， ，，. , 因为异面直线与所成角的余弦值为，所以. 解得，所以. 9．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为，侧棱长为，则与所成的角为___________. 【答案】 【详解】 分别取、的中点、，连接、，如下图所示： 在正三棱柱中，平面，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，，则平面， 为等边三角形，为的中点，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， ，， ， 因此，与所成的角为. 三、解答题 10．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2. （1）求证：MN∥平面BDE； （2）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【详解】 如图，以A为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)． （1）证明：＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)． 设＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则，即， 不妨设z＝1，可取＝(1，0，1)． 又＝(1，2，－1)，可得. 因为MN平面BDE， 所以MN∥平面BDE. （2）依题意，设A