专题1.6 以抽象函数为载体考查函数奇偶性、周期性、对称性等性质为主的选择题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题一 压轴选择题 第六关 以抽象函数为载体考查函数奇偶性、周期性、对称性等性质为主的选择题 【名师综述】抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用． 类型一 抽象函数的周期性 典例1 （2020·山东淄博市）已知定义在 上的奇函数满足 ，且在 上有 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：因为定义在 上的奇函数 满足 ， 所以 ， 所以 ，即函数 是周期为4的周期函数， 又 时有 ， 所以 故选：D. 【名师指点】本题考查了函数的奇偶性与周期性，解题的关键是明确函数的周期类型四 奇偶性、对称性、周期性的结合. 【举一反三】【陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．1 【答案】A 【解析】 因为f（x）是奇函数，且周期为2，所以f（﹣2 017）+f（2 018）=﹣f（2 017）+f（2 018）=﹣f（1）+f（0）． 当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1）， 所以f（﹣2 017）+f（2 018）=﹣1+0=﹣1． 故选：A． 类型二 抽象函数的单调性 典例2 （2021·全国高三）已知定义在 上的偶函数 在区间 上递减.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为 定义在R上的偶函数在区间 上递减，所以在 上递增， ， ， ， 因为 ， 在 上递增， 所以 ，即 ， 故选:B. 【举一反三】已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 是偶函数∴， ∴的图像关于对称，由 得， ∴，解得， 故选A． 类型三 抽象函数的零点问题 典例3（多选题）（2020·全国）已知函数 是R上的奇函数，对于任意 ，都有 成立，当 时， ，给出下列结论，其中正确的是（ ） A． B．点 是函数 的图象的一个对称中心 C．函数 在 上单调递增 D．函数 在 上有3个零点 【答案】AB 【详解】 在 中，令 ，得 ，又函数 是R上的奇函数，所以 ， ，故 是一个周期为4的奇函数，因 是 的对称中心，所以 也是函数 的图象的一个对称中心，故A、B正确； 作出函数 的部分图象如图所示，易知函数 在 上不具单调性，故C不正确； 函数 在 上有7个零点，故D不正确. 故选：AB 【举一反三】[甘肃省兰州市兰州第一中学2019届高三上学期期中考试]已知函数是上的偶函数，且满足，在[0,5]上有且只有，则在[–2013,2013]上的零点个数为（ ） A．808 B．806 C．805 D．804 【答案】B 【解析】∵f（5+x）=f（5﹣x）， ∴函数关于直线x=5对称，f（10+x）=f（﹣x）， ∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，f（﹣x）=f（x） ∴f（10+x）=f（x），即函数以10为周期 ∵在[0，5]上只有f（1）=0，∴在[0，10]上有两个零点 ∵2013=201×10+3 ∴f（x）在[0，2013]上的零点的个数为403 ∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∴f（x）在[﹣2013，2013]上的零点的个数为806 故选：B． 类型四 抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 典例4（多选题）（2020·山东泰安市）已知定义在 上的函数 满足 ，且对 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（ ） A．函数 是偶函数 B．函数 在 单调递增 C． 是函数 的对称轴 D．函数 的最小正周期是12 【答案】BCD 【详解】 由定义域为 ， ，即 ，则函数为奇函数，故A错误； 因为 ，而 ，所以 ， 所以函数的对称轴为 ，故C选项正确； 因为 ，所以 ，所以 的最小正周期是12，故D选项正确； 因为 ，当 时，都有 ， 则 ，所以 时， 为减函数. 因为函数为奇函数，所以 时， 为减函数， 又因为函数 关于 对称，所以 时， 为增函数. 因为 的最小正周期是12，所以 的单调性与 时的单调性相同. 故， 时， 单调递增，故B选项正确. 故选：BCD. [来源:【举一反三】【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】已知函数满足，若函数的图象与函数图象的交点为，，，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】函数f（x）（x∈R）满足f，即（1+x）=f（1-x），则函数y