专题06 等高线求范围问题-2021年高考数学百日冲刺优拔尖精讲精练（新高考地区专用）

专题06 等高线求范围问题 【方法点拨】 1. 函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”. 2. 对于函数，若存在正数，满足，则，且. 【典型题示例】 例1 （2020·江苏省高三期末）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由得（），即，代入，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得. 【解析】作出函数的图像如下图所示： 若存在实数满足， 根据图像可得， 所以，即，则， 令， 当时，，在区间上单调递增， ，， 所以，即. 例2 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果． 【详解】 画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：D． 【巩固训练】 1. (多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2.（2021·江苏镇江八校12联考）已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且a<b<c时有f(a)= f(b)= f(c)，则取值范围是 . 3.(2021·江苏苏州12月六校联考)已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的最小值为　 　． 4. 已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤3，且f（x1）＝f（x2），则x2－2x1的取值范围为　 　． 【答案与提示】 1. 【分析】作出函数的图象分析出，，；再对答案进行分析． 【解答】解：由函数，作出其函数图象： 由图可知，，； 当时，，有； 所以； 由有，即； 所以； 则； 故选：． 2.【答案】（0,8） 【提示】易知，且 所以∈（0,8） 3.【答案】50 【分析】设<<<，则，，，且 令 则 故当时， 所以的最小值为50. 4.【答案】[0，1﹣ln2] 【分析】利用已知f（x1）＝f（x2）进行减元，构造函数，转化为区间上的最值问题. 【解答】由f（x1）＝f（x2）得: ，所以x2﹣2x1＝x2﹣2 e，易知1<x2≤2， 设（1<x≤2）， 则由，得 当x∈(1，2-ln2)