专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题一 压轴选择题 第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题 【名师综述】 近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法. 类型一 平面向量与解三角形的结合 典例1 ．（多选题）（2019·山东莱州一中高三月考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由 ,由射影定理可得 ， 即选项A正确， 由 = ,由射影定理可得 ， 即选项B正确， 由 ,又 ，即选项C错误， 由图可知 ，所以 ， 由选项A,B可得 ，即选项D正确， 故选ABD. 典例2. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 满足 ， ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ，由余弦定理可得 ，因为 是三角形内角，∴ ， ． ，∴ ，∴ 是钝角．由正弦定理可得 ，同理 ．三角形 中， ，∴ ． ，∵ ，∴ ∴ ，∴ 的取值范围为： ，故选项为B． 【名师指点】由余弦定理可得角A的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将 的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理． 【举一反三】【河南省南阳市2019届高三上学期期中考试】已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且，则△ABC的面积的最大值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆， ∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，设h为三角形ABC的高，以BC为底， △ABC的面积； 此时AB＝AC，△ABC的面积取得最大值 故选C. 类型二 向量与三角形”四心”的结合 典例3 （2020·山东烟台市） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 点的轨迹一定经过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】 解： EMBED Equation.DSMT4 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量， EMBED Equation.DSMT4 的方向与 的角平分线一致， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 向量 的方向与 的角平分线一致 EMBED Equation.DSMT4 点的轨迹一定经过 的内心. 故选：B． 【举一反三】【江西省赣州市十四县（市)2019届高三上学期期中联考】在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部， ∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB； 在△ABC中，cos，AC=6，BC=7； ∴由余弦定理得，； 解得：AB=5，或AB=（舍去）； 又O为△ABC的内心； 所以内切圆半径r=, 所以 ∴==； ∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为． 故答案为：A． 类型三 向量与三角函数的结合 典例4． （多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 ， ，函数 ，下列命题，说法正确的选项是（ ） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C． 的图象关于直线 对称 D． 的单调增区间为 【答案】AB 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 其最小正周期是 ，A正确； 又 ，因此 图象关于点 对称，B正确； 得 ，因此 是 图象的一条对称轴，C错误； 由 ，得 ，即增区间 ， ，D错误． 故选AB． 【名师指点】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以向量的坐标形式为背景考查的是三角函数的图象和性质及三角变换的有关知识和运用. 【举一反三】已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 类型四 向量在解析几何中的应用 典例5（2021·山东泰安市·）已知O为坐标原点，双曲线C： 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直