专题1.4 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题一 压轴选择题 第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题 【名师综述】数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的交汇问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题． 类型一 数列与函数的结合 典例1 （多选题）已知 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数 满足 考察下列结论，其中正确的结论是 （ ） A. ；B. 为偶函数；C.数列 为等比数列；D.数列 为等差数列． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】ACD 【解析】∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0， ∴f（0）=f（1），即A正确， ∵f（ab）=af（b）+bf（a）， bn=n即CD正确， 对于B，取a=-1，b=2，可得f（-2）=-f（2）+2f（-1）,从而有f（-2）=-f（2），所以 不可能为偶函数； 故选ACD 定理2.已知 都是定义在 上的函数， ， ，且 （ 且 ）， ，若数列 的前 项和大于62，则 的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】[来源:Z§xx§k.Com] ，∴ ，∴ ，从而可得 单调递增，从而可得 ，∵ ，故 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，∴ ，即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故选A． 【名师指点】由已知条件构造函数 ，则 ，故函数 递增，即函数 递增，从而确定 ，结合已知条件可确定 的值，数列 的前 项和即等比数列 的前 项和，通过计算可得关于n的不等式，进而确定n的最小值． 【举一反三】【湖北省七校考试联盟”2018届高三2月联考】对 ，设 是关于 的方程 的实数根， ， （符号 表示不超过 的最大整数）.则 （ ） A. 1010 B. 1012 C. 2018 D. 2020 【答案】A 类型二 数列与不等式的结合 典例3 ．（多选题）（2020·山东高三专题练习）设 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，k是 的间隔数，下列说法正确的是（ ） A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知 ，则 是间隔递增数列 C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【答案】BCD 【详解】 A. ，因为 ，所以当 时， ，故错误； B. ，令 ，t在 单调递增，则 ，解得 ，故正确； C. ，当 为奇数时， ，存在 成立，当 为偶数时， ，存在 成立，综上： 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若 是间隔递增数列且最小间隔数是3， 则 ， 成立， 则 ，对于 成立，且 ，对于 成立 即 ，对于 成立，且 ，对于 成立 所以 ，且 解得 ，故正确. 故选：BCD 定理4.【2019山西怀仁模拟】在等差数列中，，公差，为的前项和.若向量，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且得即 又，所以. 从而 则, 当且仅当即时，上式等号成立，所以的最小值为4，故选A。 【名师指点】解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列. ②用作商比较法，根据 与1的大小关系及 符号进行判断. ③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）参变分离法，将已知不等式变形为 恒成立 ； 恒成立 ；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．学#￥科网 【举一反三】1.（多选题）（2020·山东高三期末）设等比数列 的公比为q,其前n项和为 ,前n项积为 ,并满足条件 , ,下列结论正确的是( ) A．S2019<S2020 B． C．T2020是数列 中的最大值 D．数列 无最大值 【答案】AB 【解析】当 时