专题1.3 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题一 压轴选择题 第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题[来源:学科网ZXXK] 【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 类型一 四面体的外接球问题 典例1．（2020·山东高三）已知三棱锥 的所有顶点都在球的球面上， ， ，若三棱锥 体积的最大值为2，则球 的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 过 的中点 作平面 的垂下 ，则球心 在 上， 设 ，球的半径为 ，则棱锥的高的最大值为 ， 因为 ，所以 ， 由勾股定理得 ，解得 ， 所以球的表面积为 ，故选D． 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径 ， 分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积． 【举一反三】【2020·山东高三期末】已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，因为正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为6， 则 ，所以三棱锥的高 , 又由球心 到四个顶点的距离相等， 在直角三角形 中， ， 又由 ，即 ，解得 ， 所以球的表面积为 ， 故选D. 类型二 三棱柱的外接球问题 典例2．（2020·山东高三）在三棱柱 中， ，侧棱 底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为 ，则该三棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】 如图：设三棱柱上、下底面中心分别为 、 ，则 的中点为 ， 设球 的半径为 ，则 ，设 ， ， 则 ， ， 则在 △ 中， EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以该三棱柱的侧面积为 . 故选：B. 【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点 距离相等的点在过 的外心且垂直于平面 的直线上，再确定到顶点 距离相等的点过 的外心且垂直于平面 的直线上，故直三棱柱 的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径． 【举一反三】【2019·全国高三专题练习】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，则这个三棱柱的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ,所以三棱柱的高为4,设底面边长为a,则 , 。故选D。 类型三 四棱锥的外接球问题[来源:学科网] 典例3．（2020·山东高三）已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设 的中点为 ，因为 是等边三角形，所以 ，而平面 平面 ， 平面 平面 ，所以 平面 ， 四棱锥 的体积是 ， ，所以边长 ， ，设 ， ， ， ， ， . 故选：A. 【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径． 【举一反三】【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学（理)试题】已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，且，，则球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，得，，由余弦定理可得，则， 则，又四边形是等腰梯形，故四边形的外接圆直径为，设 的中点为，球的半径为，平面，，则 ， 故选：A. 类型四 几何体的内切球问题 典例4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________． 【答案】3π 【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地