专题1.1 闯关BOSS：圆锥曲线的几何性质-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题一 压轴选择题 第一关 闯关BOSS：圆锥曲线的几何性质 【名师综述】 1.求解曲线的离心率的值或范围： 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。求离心率的范围问题关键是确立一个关于，，的不等式，再根据，，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系． 2.求解特定字母取值范围问题的常用方法： （1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围． （2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围． （3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解. 3.圆锥曲线中的最值问题： 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 常见的几何方法有： （1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度； （2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦； （4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． 常用的代数方法有： （1）利用二次函数求最值； （2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值； （3）利用基本不等式求最值； （4）利用导数法求最值； （5）利用函数单调性求最值. 【考点方向标】 方向一 直线与圆锥曲线的综合问题 典例1.（多选题）（2020·山东高三）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切 C．当时， D．的最小值为4 典例2.（多选题）（2020·山东高三）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A．恒成立 B．若，则 C．面积的最小值为1 D．对每一个确定的，若，则的面积为定值 【举一反三】 1.（多选题）（2020·山东高三期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 2.（多选题）（2020·山东高三期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A． B． C． D． 方向二 圆锥曲线的离心率问题 典例3．（2020·山东高三）已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 典例4（2020·福建厦门高三期末）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 典例5．（2020·安徽安庆高三期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定． 【举一反三】 3.（2020·福建漳州质检）已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.（2020·河南许昌质检