专题10函数模型及其应用-2021年高考数学二轮复习必刷题（新高考地区专用）

专题10函数模型及其应用 1．按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）： d [18，20） [20，22） [22，24） [24，26） [26，28） 等级 三级品 二级品 一级品 特级品 特级品 频数 1 m 29 n 7 用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个． （1）估计这批水果中特级品的比例； （2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案： 方案A：以6.5元/斤收购； 方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋． 用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由． 【解析】解：（1）由已知得， 解得m＝12，n＝51， 所以特级品的概率为， 所以这批水果中特级品的比例为58%． （2）选用方案A，种植户的收益为 20000×6.5＝130000（元）， 选用方案B，种植户的收益为132000． ∵132000＞130000，所以选用方案B． 2．某地建一座桥，总长为240米，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面．经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为（x2+x）万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元． （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）需要新建多少个桥墩才能使y最小，其最小值是多少？ 【解析】解：（1）y＝400（1）•（x2+x）＝240x160（0＜x＜240）． （2）∵240x29600，当且仅当240x即x＝20时取等号， ∴y的最小值为9600﹣160＝9440，此时桥墩个数为：11， ∴需要新建11个桥墩才能使y最小，最小值是9440． 3．某水果批发商经销某种水果（以下简称A水果），购入价为300元/袋，并以360元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购入）．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如频数分布条形图． 记x表示A水果一天前8小时内的销售量，y表示水果批发商一天经营A水果的利润，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数． （1）若n＝16，求y与x的函数解析式； （2）假设这100天中水果批发商每天购入A水果15袋或者16袋，分别计算该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入A水果15袋还是16袋？ 【解析】解：（1）当x＜16时，y＝60×x﹣80×（16﹣x）＝140x﹣1280， 当x≥16时，y＝60×16＝960， 综上，y． （2）若水果批发商每天购入A水果15袋，则这100天中有80天的利润为900元，有20天的利润为760元， 因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为． 若水果批发商每天购入A水果16袋，则这100天中有50天的利润为960元，有30天的利润为820元，有20天的利润为680元， 因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为． 比较两个平均数可知，每天应购入A水果15袋． 4．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一； 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足In+1＝1.02In﹣0.20； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足In+1＝1.08In﹣0.46； （1）设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 【解析】解：（1）策略A：因为In+1＝1.02In﹣0.20， 策略B：因为In+1＝1.08In﹣0.46 当1.02I1﹣0.02＝1.08I1﹣0.46，可得I1， 当I1时，两者相等， 当I1∈[1，]时，策略B的I2更小； 当I1∈（，8]时，策略A的I2更小； （Ⅱ）I1＝3时，选择策略B，当In＝0，时则（3）•1.08n﹣1，可得1.08n﹣1，所以n1≈9 所以虫害的危机最快在第9周解除． 5．新冠肺