专题05 数列求和及综合应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题05 数列求和及综合应用 【要点提炼】 1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6). 2.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1　　（n＝1），,Sn－Sn－1 （n≥2）.)) (2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,anan＋1)))(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 温馨提醒　裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题. 【方法指导】 1、某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和。注意在含有字母的数列中对字母的讨论。 （1）若数列 的通项公式为 ，且 ， 为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求数列 的前 项和； （2）若数列 的通项公式为 ，且数列 ， 是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数列 的前 项和； （3）若数列的通项公式中有 等特征，根据正负号分组求和。 2、一般地，若数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和，则可以采用错位相减法求和。一般是先将和式两边乘以等比数列 的公比，然后做差求解； 3、在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 的表达式； 4、在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 5、（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两三项，后面也剩两三项； （2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。 6、数列与不等式相结合问题的处理方法： （1）如果是证明题，那么要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等。 （2）如果是解不等式问题，那么要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等。总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了 命题点一 利用分组求和法求和 【典例1】 （2021·广西高三其他模拟（文））已知数列 的前 项和是 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 由 组成，求 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据 与 的关系，结合递推式可得数列 为等比数列，进而可得通项公式； （2）分为 为奇数和偶数两种情形，结合等差数列和等比数列前 项和公式可得结果. 【详解】 （1）依题意：当 时，有： 又 ，故 干 ①，当 时，有 ②， ① ②得： 化简得 ， 是以1为首项，2为公比的等比数列， （2）当 为偶数时 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当 为奇数时 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【方法总结】 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和。注意在含有字母的数列中对字母的讨论。 （1）若数列 的通项公式为 ，且 ， 为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求数列 的前 项和； （2）若数列 的通项公式为 ，且数列 ， 是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数列 的前 项和； （3）若数列的通项公式中有 等特征，根据正负号分组求和。 【拓展练习】 1、（2020·福建莆田市·高三其他模拟）已知等比数列 的公比为q. （1）试问数列 一定是等比数列吗？说明你的理由； （2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答. 问题：若　　　　　　　，求 的通项公式及数列 的前n项和 . 注：如果选择多种情况解答，则按第一种情况计分. 【答案】（