专题20有关几何最值存在型压轴问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题20有关几何最值存在型压轴问题 【方法指导】 本专题原创编写的是几何最值问题，涉及到的有三角形中的几何最值、四边形中的几何最值、圆中的几何最值.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．中考中，此类问题常考的模型和借助的方法有：两点之间线段最短、垂线段最短、将军饮马、胡不归模型、翻折、对称、点到圆的举例、函数最值等. 【题型剖析】 【类型1】三角形中的几何最值问题 【例1】（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　） A．2 B．22 C．22 D．2 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论． 【解析】∵等腰直角三角形ABC的腰长为4， ∴斜边AB＝4， ∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2， ∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上， 当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CMAB＝2， ∵PC＝2， ∴PM＝CM﹣CP＝22， 故选：B． 【变式1-1】（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 故选：A． 【变式1-2】（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为　32　． 【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题． 【解析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF． ∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD， ∴OMAD＝2， ∵AB∥CD， ∴∠GCF＝∠B＝60°， ∴∠DGO＝∠CGF＝30°， ∵AD＝BC， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝120°， ∴∠DOG＝30°＝∠DGO， ∴DG＝DO＝2， ∵CD＝4， ∴CG＝2， ∴OG＝2，GF，OF＝3， ∴ME≥OF﹣OM＝32， ∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为32． 【变式1-3】（2020•鄂尔多斯）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是　2　． 【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小． 【解析】如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS） ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 故答案为2． 【类型2】：四边形中的几何最值 【例2】（2020•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（　　） A．2 B．1 C．1 D．2 【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，