专题19几何变式探究和类比变换综合类问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题19几何变式探究和类比变换综合类问题 【方法指导】 图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等． 解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力. 【题型剖析】 【类型1】几何类比变换综合题 【例1】（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝　90　°； （2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK，求DF的长． 【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论． ②利用四点共圆的性质解决问题即可． （2）结论不变．利用四点共圆证明即可． （3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题． 【解析】（1）①证明：如图1中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACF， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFC， ∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD＝CF． ②结论：∠ACE＝90°． 理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠AED＝45°， ∴A，D，E，C四点共圆， ∴∠ADE+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°． 故答案为90． （2）结论：∠ACE＝90°． 理由：如图2中， ∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠AED＝45°， ∴A，D，E，C四点共圆， ∴∠ADE+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°． （3）如图3中，连接EK． ∵∠BAC+∠ACE＝180°， ∴AB∥CE， ∴，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a， ∵DA＝DE，DK⊥AE， ∴AP＝PE， ∴AK＝KE＝3a， ∵EK2＝CK2+EC2， ∴（3a）2＝（）2+a2， 解得a＝4或0（舍弃）， ∴EC＝4，AB＝AC＝12， ∴AE4， ∴DP＝PA＝PEAE＝2，EFAE， ∴PF＝EF， ∵∠DPF＝90°， ∴DF5． 【变式1-1】（2020•黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD； （2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长． 【解析】（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； （2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴AE， ∴BD； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在Rt△ACF中，sin∠ACF， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝1， ∴S△AC