第5讲 无理方程和二元二次方程组（讲义）-【教育机构专用】2021年春季八年级数学辅导讲义（沪教版）

第5讲 无理方程和二元二次方程组 模块一：无理方程 知识精讲 1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程． 2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况． 检验方程的增根从两方面出发： （1） 根号有意义的条件； （2） 方程左右是否相等． 例题解析 例1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ） A.； B.； C.； D.. 【答案】C； 【解析】根式中被开方数中不含未知数，故A、B、D都不是无理方程；而C、含有根式且被开方数中含有未知数，这样的方程是无理方程；因此选C. 例2.下列方程是哪些是无理方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（1），（2），（4）． 【解析】方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 根据无理方程的概念，（1），（2），（4）是无理方程．（3），（5），（6）中被开方数中没有未知数，不是无理方程．其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）都是分式方程． 【总结】考察无理方程的基本概念． 例3.（松江2018期中15）下列关于x的方程中，有实数根的是（ ） A.； B.； C.； D.. 【答案】B； 【解析】A、依题得，不可能，故方程无实数根；B、，故方程有实数根；C、解得x=1是增根，故方程无实数根；D、由易知无实数根. 因此答案选B. 例4.（浦东四署2019期中3）下列关于x方程中，有实数根的是（ ） A.； B.； C.； D.. 【答案】C； 【解析】A、右边，不可能等于0，故无实数根；B、因为，故方程无实数根；C、原方程可化为，解得，经检验知方程的根；D、解之得是增根，故方程无实数根；因此答案选C. 例5.判定下列方程是否有实数根： （1）； （2）（p为实数）． 【难度】★ 【答案】（1）有实数根；（2）没有实数根． 【解析】根据无理方程有意义的条件，要同时满足，得到：， 代入原方程，左边右边，方程成立，所以该方程有实数根． （2）中，方程左边，而右边，所以，左边右边，故方程没有实数根． 【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系． 例6..（浦东四署2019期中7）方程的根是 . 【答案】； 【解析】两边平方得，因此. 例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________. 【答案】x=2 【解析】解：∵，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为：x=2. 例8.将下列无理方程化成有理方程： ①； ②． 【难度】★ 【答案】；． 【解析】方程中只有一个根号，左右两边同时平方，得，整理得：； 方程中根号里面部分与根号外面部分有倍数关系，所以设 ，则，所以原方程可转化为， 化简整理得：． 【总结】考察解无理方程的思想，即化无理方程为有理方程． 例9.解下列无理方程：； （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程是则得的形式，所以解（1）方程得 并且还要保证，解得：，又因为当时，没意义， 所以经检验是原方程的根． （2）方程只含一个根号，所以整理为，等号两边同时平方去根号得：，整理得，，得， 经检验都是原方程的根． 【总结】考察无理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根． 例10.解下列无理方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）方程含两个根号，要尽量分散在等号的两边，原方程整理为， 等号两边平方得，整理得，再等号两边平方得 ，整理得：，从而，得：， 经检验是原方程的根，是原方程的增根； （2） 原方程整理为，等号两边平方得， 整理得，等号两边再平方得，整理得，从而，得：． 经检验都是原方程的根； （3） 方程含3个根号，通过观察方程先整理为，然后等号两边平方得，整理得：，等号两边平方得，整理得，从而， 经检验是原方程的根． 【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法，注意最后要验根． 例11.解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）x=3． 【解析】（1）整理得，等号两边平方得 ，整理得， 等号两边平方得，整理得：，解得：． 经检验是原方程的根； （2）方