第4讲 整式方程和分式方程（讲义）-【教育机构专用】2021年春季八年级数学辅导讲义（沪教版）

第4讲 整式方程和分式方程 模块一：整式方程 知识精讲 1、 如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x的一元n次二项方程的一般形式为:． 为奇数时，方程有且只有一个实数根； 为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根． 2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于的双二次方程的一般形式为（，，）． 3．了解关于的双二次方程（，，），可以用新未知数代替方程中的，同时用代替，将这个方程转化为关于的一元二次方程．这种解方程的方法是换元法． 4．整式方程和分式方程统称为有理方程． 例题解析 例1.下列关于的方程中，为一元整式方程的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】 【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念． 例2.判断下列关于x的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程? ① ； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【难度】★ 【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程． 【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程； 【总结】考察一元整式方程的概念． 例3（松江2018期中6）二项方程的实数根是 . 【答案】； 【解析】由二项方程得，所以. 例4（崇明2018期中12）关于x的方程的解是 . 【答案】； 【解析】由得，因为，故. 例5 （杨浦2019期中11）关于x的方程：是二项方程，k= . 【答案】0； 【解析】如果关于x的方程是二项方程，那么. 例6（静安2018期末10）如果关于x的方程bx2＝2有实数解，那么b的取值范围是　 　． 【答案】b＞0； 【解答】解：根据题意得b≠0，，当时，方程有实数解，所以b＞0． 例7.（1）若关于的方程的解为2，则__________； （2）若方程的一个根是，则__________． 【难度】★ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）把代入，得：； （2）把代入，得：． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用． 例8.若关于的二项方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．； 【难度】★ 【答案】 【解析】因为，所以，若方程没有实数根，则． 【总结】考察二项偶次方程有解的情况． 例9.关于的方程实数根的情况是（ ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．不确定 【难度】★★ 【答案】 【解析】当时，方程化为，只有一个解；当时，方程为一元二次方程，，即且时，方程有两个实数根，， 即时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论． 例10.如果．为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，则m=___________，n=____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】将方程整理得：，把代入得：， 整理得：，若为任意实数，则． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用． 例11.解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】解：（1）由，得：，即， 解得原方程的解为：； （2）由，得：，即， 解得原方程的解为：； （3）由， 得：， 即， 分解因式，得：， 解得原方程的解为：； （4）因为，所以分以下情况讨论： ①当时，解得：； ②当时，解得：； ③当时，解得：， 当时，应为偶数，舍去， 故原方程的解为：． 【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论． 例12.解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）当时，，当时，为一切实数，当时，方程无解； （2）当时，为一切实数，当时，方程无解， 当时，，． 【解析】解：（1）由，得：， 故当时，即，；当时， （1）：，为一切实数；（2）：，方程无解； 综上所述：当时，；当时，为一切实数；当，方程无解； （2）由，得：， 即， 当时，，为一切实数； 当时，，方程无解； 当时，，． 【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论． 例13.解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】