专题04 等差数列与等比数列-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题04 等差和等比数列 【要点提炼】 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d； (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)； (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列. 温馨提醒　应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*. 【方法指导】 常见等差、等比数列的技巧: 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决； 运用方程的思想解等差（等比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算； 分类讨论的思想在本内容尤为突出，学习时考虑问题要全面，如等比数列 和 要注意两种情况等等； 等价转化是数学复习中常运用的，数列也不列外，如 与 的转化将一些数列转化成等差（比）数列来解决等，要及时总结归纳； 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质解决问题； 掌握一些基本的数学方法：如观察法、类比法、待定系数法、归纳法，数形结合法等； 命题点一 会求等差、等比数列的基本量 【典例1】 （2020·河南开封市·高三一模（理））已知 是各项均为正数的等比数列， ， . （1）求 ； （2）在平面直角坐标系 中，设点列 都在函数 的图象上，若 所在直线的斜率为 ，且 ，求数列 的通项公式. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）先由题意，设数列 的公比为 （ ），由题中条件列出方程求解，得出首项和公比即可； （2）根据题中条件，得到 ，利用累加法，以及等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】 （1）由题意，设正项等比数列 的公比为 ，其中 ， 因为 ，所以 ，则 ，解得 或 （舍）， 由 得 ，则 ； （2）因为点列 都在函数 的图象上， 所以 ， 又 所在直线的斜率为 ，所以 ，即 ， 则 ， ，…， 以上各式相加得 ， 又 ， 则 . 【方法总结】 等差、等比数列基本量的运算是等差、等比数列中的一类基本问题，等差（比）数列中有五个量 ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解。 【拓展练习】 1.（2021·江西高三其他模拟（理））已知等差数列 为递减数列且首项 ，等比数列 前三项依次为 ， ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） . 【分析】 （1）设等差数列 的公差为 ，由题设求出 即可求得 ，进而求得等比数列 的首项 和公比 ，即可求得 ； （2）先由（1）求得 ，再利用分组求和法求得其前n项和 即可. 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ， 由题意得： ，或 （舍） 又 ， 公比 （2） ． 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出 的通项，进而求得 的首项和公比，求得其通项公式； （2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和 . 命题点二 运用等差、等比数列的基本性质解题 【典例2】（1）（2021·江西高三其他模拟（文））已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=7，am+am-1=73(m≥3)，Sm=2020则m的值为（ ） A．100 B．101 C．200 D．202 【答案】B 【分析】 由等差数列的性质可得 ，再由等差数列前 项和公式列式可算出结果. 【详解】 ，由等差数列的性质可知， 故 故 故选：B （2）、（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知等比数列 满足 ， ，则 （ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】 求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；然后求 . 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ， 再由 得 ， . 故选：A. 【点睛】 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 【方法总结】 解答与等差、等比数列有关问题的处理策略： 1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确； 2、利用等差、