类型二 与特殊四边形有关的证明-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型二与特殊四边形有关的证明 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＞BC，分别以AB、BC、 CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND， 设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是 A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1 【答案】A。 【解析】过点D作DQ⊥MN交CB的延长线于点P，交MN的延长线于点Q； 过点E作ER⊥GF交CA的延长线于点S，交GF的延长线于点R。 易证△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC； 易证△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底为BN=BC，高为BP=AC，∴S2＝S△ABC； 易证△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底为FA=CA，高为AS=BC，∴S2＝S△ABC。 ∴S1＝S2＝S3＝S△ABC。故选A。 2.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点， BE∥DF．求证：BE＝DF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD， BC∥AD 。 ∴∠ACB＝DAC。 又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠AFD 。∴△CBE≌△ADF（AAS）。∴BE＝DF。 【解析】要证BE＝DF，只要证△CBE≌△ADF即可。它可由平行四边形对边平行且相等的性质和平行线内错角相等的性质证得。 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF. 【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝DC。 又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）。 【解析】利用平行四边形的性质和∠1＝∠2的条件可以用ASA证明两三角形全等。 4. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n． (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)求四边形DEFC的周长． 【答案】解：(1)证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB， ∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA。 ∴OA=OB，OC=OD，从而AC=BD。 在△ACB与△BDA中，∵AB=AB，∠CAB=∠DBA．AC=BD， ∴△ACB≌△BDA（SAS）。 (2)过点C作CG∥BD，交AB延长线于G， ∵DC∥AG．CG∥BD， ∴四边形DBGC为平行四边形。 ∵△ACB≌△BDA。 ∴AD=BC．即梯形ABCD为等腰梯形。 ∵AC=BD=CG，∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG。 ∴CF= AG。 又AG=AB+BG= ，∴CF= 。 又四边形DEFC为矩形，故其周长为2(DC+CF)= 。 【解析】(1) 由已知得到AC=BD，∠CAB=∠DBA，从而SAS证得△ACB≌△BDA。 （2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，由(1)的结论，求出CF的长即可。 5.如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为 ，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D。 ∵E，F分别是BC，AD中点，∴DF= DA，BE= CB。∴DF=BE。 ∴△ABE≌△CDF（SAS）。 （2）证明：过A作AH⊥BC于H， ∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为 ， ∴BE=AB=2， ×EB×AH= 。∴AH= 。 ∴sinB= 。∴∠B=60°。∴AB=BE=AE。 ∵E，F分别是BC，AD中点，∴AF=CE=AE。 ∵△ABE≌△CDF，∴CF=AE。 ∴AE=CE=CF=AF。∴四边形AECF是菱形。 【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可得出答案。 （2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，从而AF=CF=CE=AE得证。 6.在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°。 又∵BE⊥AG，DF⊥AG， ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。 ∴∠2=∠3，∠1=∠4。