类型一 与全等三角形有关的证明-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型一与全等三角形有关的证明 1.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC． 【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。 在△ABC和△FDC中 ， ∴△ABC≌△FDC（ASA）。 ∴AE=FC． 【解析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。 2.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF． 【答案】证明：∵AF=DC，∴AC=DF。 又∵AB=DE，∠A=∠D， ∴△ACB≌△DEF（SAS）。∴∠ACB=∠DFE，。 ∴BC∥EF。 【解析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行的判定，即可证明BC∥EF。 3.如图，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点， 求证：△AFB≌△AEC 【答案】证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点， ∴AE＝ eq \f(1,2)AB，AF＝ eq \f(1,2)AC。 ∵AB＝AC，∴AE＝AF。 又∵∠A＝∠A，∴△AFB≌△AEC（SAS）。 【解析】据中点的定义可知AE＝ eq \f(1,2)AB，AF＝ eq \f(1,2)AC，从而由已知AB＝AC 得AE＝AF，因此根据SAS即可证明△AFB≌△AEC。 4.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF． 【答案】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD， 又∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF， ∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD。 ∴△BDE≌△CFD（ASA）。∴CF=BE。 【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。 【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以由ASA证明△BDE≌△CDF，从而得出结论。 5.已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC 求证：AB=AC 【答案】证：∵AD平分∠EDC，∴∠EDA＝∠CDA。 在△AED和△AED中， ∵DE＝CD，∠EDA＝∠CDA，AD＝AD，∴△AED≌△AED（SAS）。，∴∠C＝∠E。 又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C。∴AB＝AC 【解析】要证AB＝AC，由等腰三角形等角对等腰的判定即要∠B＝∠C，由于已知∠E＝∠B，而∠C和∠E是全等三角形△AED和△AED的对应角，从而得证。 6.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？ 【答案】解：不重叠的两部分全等。理由如下： ∵三角形纸板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D。 ∴AB－BF＝BD－CD，即AF＝CD。∴△AOF≌△DOC（AAS） 【解析】根据全等三角形AAS的判定定理，得出结果。 7.如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证AD=AE； （2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由． 【答案】解：（1）证明：在△ACD与△ABE中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴△ACD≌△ABE（AAS）。∴AD=AE。 （2）在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE， ∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。 即OA是∠BAC的平分线。 又∵AB=AC，∴OA⊥BC。 【解析】（1）根据全等三角形AAS的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。 （2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC。 8.已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC． 【答案】证明： ∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，∠ABC=∠DCB， ∴∠BCA=∠DBC。 在△ABC与△DCB中，∠ABC=∠DCB，BC=-CB，∠BCA=∠DBC， ∴△ABC≌△DCB（ASA）。∴AB=DC。 【解析】结合题意，根据全等三角形SAS的判定定理，即可进行全等的判断，然后得出结论。 9.已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B． 求证：AE=CF． 【答案】证：∵AD//CB，∴∠A=∠C。