专题26 导数及其应用（解答题）-2021年高考数学（文）二轮复习热点题型精选精练

专题26 导数及其应用（解答题） 1．已知函数，其中为常数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围． 【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 对函数求导可得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 因为，所以， 所以，所以， 所以，故函数在区间上单调递增． 因为函数在区间上只有一个零点， 结合零点存在定理可得， 解得，即的取值范围是． 2．已知函数． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文） 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1），因为所以分以下情况讨论： 当时，恒成立，故在单调递增； 当时，当单调递减，时单调递增；当时，恒成立，故在单调递减． 综上所述：当时在单调递增，无单调递减区间； 当时在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，无单调递增区间． （2）因为，由1知，函数在上单调递增，不妨设， 则，可化为， 设，则， 所以为上的减函数 即在上恒成立，等价于在上恒成立， 设，所以， 因，所以，所以函数在上是增函数， 所以（当且仅当时等号成立）． 所以．即的最小值为12． 3．已知函数，． （1）若，求的极值； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试 【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）． 【解析】（1）若，则，定义域为，可得． 令，解得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，没有极大值． （2）由，即， 因为当时，有(等号不同时成立)，即， 所以原不等式又等价于， 要使得对任意，都有成立，即， 令，，则， 当时，，可得， 所以在上为增函数，所以， 故实数的取值范围是． 4．已知函数． （1）若是的极值点，求的极大值； （2）若，求实数t的范围，使得恒成立． 【试题来源】宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），，由题意可得，， 解得，所以， 所以，当，时 ，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值； （2）由得在时恒成立可得，在时恒成立，， 令， 则， 令，所以，令，提， 所以当，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得最小值，又，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，可得，所以． 5．函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文） 【答案】（1）答案见解析；（2）1 【解析】（1）易知，，当时对任意的恒成立； 当时，若，得，若，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，即， ，，即，令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， ，，． 6．设函数． （1）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （2）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）当时，，， 设图象上任意一点，切线斜率为． 过点的切线方程为． 令，解得；令，解得． 切线与坐标轴围成的三角形面积为． 所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关． （2）由题意，函数的定义域为．因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即当，恒成立， 所以，因为当，，当且仅当时取等号． 所以当时，，所以． 所以的取值范围为． 【名师点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则． 7．已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若对于任意，存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期末（理） 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）由题意得，， ①当时，令，则，所以在上递减； 令，则，所以在上递增； ②当时，则， 令，则或，所以在和上递减； 令，则，所以在上递增； ③当时，则，所以在上递减； ④当时，则， 令，则或，所以在和上递减； 令，则，所以在上递增； （2）由题意得在恒成立， 所以在上递增，所以， 所以存在使得成立，即成立， 令，，则， 所以在上递增，所以，所以实数a的取值范围为． 8．已知函数，(，) （1）当时，讨论函数单调性； （2）设，是函