考点18 导数的综合应用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点18 导数的综合应用 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。 2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则. 4. 导数的几何意义： 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。 当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）(k, b为常数)； （2）(C为常数)； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）（α为常数）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）。 2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）； （2）（C为常数）； （3）; （4）。 3. 简单复合函数的导数： 若，则，即。 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导， （1）如果恒，则函数在区间上为增函数； （2）如果恒，则函数在区间上为减函数； （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数的定义域；②求导数； ③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数在区间内可导， (1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)； (2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)； (3) 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。 2. 求函数的极值： 设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的全部实根，，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况： x … 正负 0 正负 0 正负 单调性 单调性 单调性 （4）检查的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。 求函数在区间上的最大值和最小值的步骤： （1）求在区间上的极值； （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是，即；不等式恒成立的充要条件是，即。 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是。 （2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】 ∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】 本题考查分段函数的最