考点17 导数在函数研究中的作用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点17 导数在函数研究中的作用 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）(k, b为常数)； （2）(C为常数)； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）（α为常数）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）。 2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）； （2）（C为常数）； （3）; （4）。 3. 简单复合函数的导数： 若，则，即。 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导， （1）如果恒，则函数在区间上为增函数； （2）如果恒，则函数在区间上为减函数； （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数的定义域；②求导数； ③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数在区间内可导， (1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)； (2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)； (3) 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。 2. 求函数的极值： 设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的全部实根，，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况： x … 正负 0 正负 0 正负 单调性 单调性 单调性 （4）检查的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。 求函数在区间上的最大值和最小值的步骤： （1）求在区间上的极值； （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是，即；不等式恒成立的充要条件是，即。 的值域是时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是。 （2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．（2015·陕西高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是（ ） A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 【答案】A 【解析】 若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A． 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 3．（2013·湖北高考真题（理））已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0） 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点 ⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． ． ①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有