考点16 导数的概念和几何意义-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点16 导数的概念和几何意义 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。 2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则. 4. 导数的几何意义： 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。 当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】 ，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【分析】 根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用 3．（2019·全国高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】 详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】 本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 4．（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】 当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】 本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 5．（2018·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】 先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】 【点睛】 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 6．（2017·全国高考真题（文））曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 7．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】. 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】 详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 8．（2021·应城市第一高