考点15 函数模型及其应用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点15 函数模型及其应用 求解应用题的一般步骤∶ 1、审清题意∶ 认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系（等量或大小关系） 2、建立文字数量关系式∶ 把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。 3、转化为数学模型∶ 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型（一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析），转化为一个数学问题。 4、解决数学问题∶ 利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。 5、返本还原∶ 把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。 二、应用题的常见题型及对策 1、与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题型 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。 2、与数列有关的问题 常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。 解决这类问题常构造等差数列、等比数列（无穷递增等比数列），利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。 3、与空间图形有关的问题 常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。 4、与直线、圆锥曲线有关的题型 常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。 5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。 6、与排列组合有关的问题，运用排列组合知识解决； 7、与概率统计有关的问题； 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】 根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】 因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】 本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 2．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【答案】B 【分析】 算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 【详解】 由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名， ，,故需要志愿者名. 故选：B 【点晴】 本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题. 3．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了