考点14 函数与方程-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点14 函数与方程 1．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点． ②若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点． ③若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根． 要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根． 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /11 1．（2019·全国高考真题（文））函数在的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】 由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】 本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 2．（2018·全国高考真题（理））函数在的零点个数为________． 【答案】 【分析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 3．（2020·全国高考真题（理））若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】 设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【点晴】 本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小， 4．（2019·浙江高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】 当时，，得；最多一个零点； 当时，， ， 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意； 当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点， 如图： 且， 解得，，． 故选． 【点睛】 遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 5．（2018·全国高考真题（理））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【解析】 分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 6．（2021·浙江金华市·高一期末）函数，当时，，则的取值可以是（ ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】AB 【分析】 设，则在上为增函数，且，所以要满足当时，，只要有当时，，当时，，从而可得，得（），从而可得 【详解】 设，则在上为增函数