考点13 幂函数、指数函数、对数函数（2）-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点13 幂函数、指数函数、对数函数（2） （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）· ； （2） ； （3） ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式） 说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式． 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果，且，，，那么： ·＋； －； ． 注意：换底公式 （，且；，且；）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）；（2）． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：，且． 2、对数函数的性质： a>1 0<a<1 定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） 幂 函 数 一般地，形如的函数称为幂函数，其中a为常数。 幂函数中，当时性质如下表所示：画图 结合以上特征，得幂函数的性质如下： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点（1，1）； （2）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数； （3）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数； （4）如果a<0，则幂函数在区间上是减函 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /11 1．（2019·全国高考真题（文））已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】 则．故选B． 【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 2．（2019·全国高考真题（理））若a>b，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【分析】 本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】 取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 【点睛】 本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 3．（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】 ； ； ． 故． 故选A． 【点睛】 利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 4．（2019·天津高考真题（理））已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】 ， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】 本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 5．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk