考点11 分段函数-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点11 分段函数 分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /14 1．（2014·四川高考真题（理））设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 . 【答案】1 【详解】 试题分析：. 【点晴】 周期函数及分段函数. 2．（2015·山东高考真题（文））设函数，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意得，当时，即，则 ，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D． 考点：分段函数的应用． 3．（2015·浙江高考真题（理））已知函数，则 ，的最小值是 ． 【答案】，. 【详解】 ， 若：，当且仅当时，等号成立； 若：，当且仅当时，等号成立，故可知． 考点：1．分段函数；2．函数最值． 4．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】 ∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】 本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 5．（2018·全国高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 【详解】 6．（2014·湖北高考真题（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 所以， 由，解得或； 由解得或（舍去）， 所以函数的零点的集合为. 故选：D. 考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法， 7．（2019·天津高考真题（文））已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 画出图象及直线，借助图象分析． 【详解】 如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 【点睛】 根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 8．（2021·浙江金华市·高一期末）狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数（是有理数）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念，性质，结构”．关于的性质，下列说法正确的是（ ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数是周期函数 【答案】BCD 【分析】 选项A. 由条件，可判断；选项B.由奇偶性的定义分和分别判断处理；选项C. 由，可得为有理数可判断；选项D. 对于任意, 则与同为有理数或无理数，结合条件可判断. 【详解】 选项A. 由条件，，所以，故A不正确. 选项B. 当时，，则有，即有 当时，，则有，即有 故总有成立，所以函数是偶函数，故B正确. 选项C. 由，可得的值为有理数，所以，故C成立. 选项D. 对于任意, 则与同为有理数或无理数， 所以总有或，即成立 所以函数是周期函数，故D正确. 故选：BCD 9．（2021·福建龙岩市·高一期末）已知函数，若，则的值可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【分析】 根据，分和 两种情况，利用对数方程和一元二次方程的解法求解.