考点07 基本不等式-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点07 基本不等式 6、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号） ⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 7、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 8、恒成立问题 ⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时 ②当时 ⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时②当时 ⑶恒成立恒成立 ⑷恒成立恒成立 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2011·上海高考真题（文））若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 2．（2012·陕西高考真题（理））在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C. 3．（2015·湖南高考真题（文））若实数满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】 ，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C. 考点：基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 4．（2015·福建高考真题（文））若直线过点，则的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C． 考点：基本不等式. 5．（2015·陕西高考真题（文））设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性． 6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】 对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 7．（2021·山东高三专题练习）若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 【答案】AB 【分析】 对A,根据基本不等式求的最大值； 对B,对平方再利用基本不等式求最大值； 对C,根据再展开求解最小值； 对D,对平方再根据基本不等式求最值. 【详解】 对A,,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误. 对D, ,即,故有最小值.故D错误. 故选：AB 【点睛】 本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题. 8．（2021·湖南株洲市·高三一模）已知，，设，，则下列说法正确的是（ ） A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为 【答案】BC 【分析】 令，得，，利用的情况即可说明. 【详解】 令， ， ，当且仅当，即时等号成立，， 故M有最大值，故B正确， 没有最大值，故M没有最小值，故A错误； 同理，故D错误，没有最小值，故C正确. 故选：BC. 【点睛】 关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是变换形式，将转化为关于的式子求解. 9．（2020·广东高三一模）若，则下列结论正确的是（