考点03 充分条件与必要条件-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）

考点03 充分条件与必要条件 1、定义 1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件． 2、四种条件的判断 1.如果“若则”为真，记为，如果“若则”为假，记为. 2.若，则是的充分条件，是的必要条件 3.判断充要条件方法： （1）定义法：①p是q的充分不必要条件　②p是q的必要不充分条件 ③p是q的充要条件　　④　p是q的既不充分也不必要条件 （2）集合法：设P={p}，Q={q}， ①若PQ，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. ②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ③若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件. （3）逆否命题法： ①q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件 ②q是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件 ③q是p的充分要条件p是q的充要条件 ④q是p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /13 1．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 2．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】 依题意是空间不过同一点的三条直线， 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交. 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面. 综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用， 3．（2019·天津高考真题（理））设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】 化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】 本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 4．（2019·上海高考真题）已知，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件. 【详解】 设，可知函数对称轴为 由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时， 当时，可得，即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项： 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题. 5．（2019·北京高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 ∵A､B､C三点不共线,∴ |+|>|||+|>|-| |+|2>|-|2•>0与 的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C. 【点睛】 本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想. 6．（2019·天津高考真题（文））设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】 等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 7．（