专题03 解三角形-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题03 解三角形 【要点提炼】 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝eq \f(a,2R)， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc). (3)三角形面积公式 S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B. 【方法指导】 常见三解三角形的技巧: 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 2、解题时要注意：一是数形结合，通过图像所经过的特殊点与图像的对称性等来寻找突破口;二是转化意识，如判断三角形的形状可转化为对三角形的边长或内角的探求;三是方程意识，分析图形的特点，寻找关于参数的方程，解方程。 3、解三角形的实际应用问题是测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方位角、视角等;测量距离问题;测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量。4、解三角形与其他知识的综合 (1)、解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“a+b;ab;a2+b2”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题. (2)、注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等。 命题点一 平面几何图形中的解三角形问题 【典例1】 （2021·江西高三其他模拟（理））如图，在 中， ， ，点D在线段 上． （1）若 ，求 的长； （2）若 ，且 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用正弦定理求解即可. （2）用余弦定理求出 ，在两个三角形中用正弦定理得出 ，代入 值求解即可. 【详解】 解：（1）∵ ，且 ∴ ，∴ （2）∵ ， 故算得 ， 在 中，利用正弦定理有 ， 在 中，有 ∴ ， ∵ ，∴ ∴ 【方法总结】 解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几个方面： 1.充分利用平面几何图形的性质； 2.出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解； 3.四边形问题要转化到三角形中去求解； 4.通过三角形中的不等式关系（如大边对大角，最大角一定大于或等于 ）确定角的范围。 【拓展练习】 1.（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）如图，在直角 中， ， ， ，点 在线段 上. （1）若 ，求 的长； （2）点 是线段 上一点， ，且 ，求 的值. 【答案】（1）3；（2） . 【分析】 （1）在 中，利用正弦定理即可得到答案； （2）由 可得 ，在 中，利用 及余弦定理得 ，解方程组即可. 【详解】 （1）在 中，已知 ， ， ，由正弦定理， 得 ，解得 . （2）因为 ，所以 ，解得 . 在 中，由余弦定理得， ， 即 ， ， 故 . 【点睛】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题. 命题点二 已知边角关系解三角形问题 【典例2】 （2019·天津高三其他模拟）在 中，内角 所对的边分别为 已知 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）设 ， . 求 和 的值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． . 【分析】 （1）利用正弦定理进行边角互化，利用三角恒等变换公式求解即可； （2）先利用余弦定理得出 ，再利用正弦定理得出 ,得出 ，然后将 展开求值. 【详解】 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得 ． 因为 .所以 .故 . 即 ． 整理得 . 所以 ． 因为 .所以 ． （Ⅱ）根据余弦定理. ，将 ， ， 代入解得： ．因为 ，所以 ． 根据正弦定理有： ，解得 ． 又因为 ，所以 ，则 ， 可求得： ， ． 则 ． 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，考查三角函数和差角公式、二倍角公式的运用，难度一般. 【方法总结】 1、角化边：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，进而求解； 2、边化角：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过恒等变换得出内角的关系，进而求解。 【拓展练习】 2. （2019·天津南开区·高考模拟（理））在 中， 分别是三个内角 的对边，若 ，且 . （