专题01 函数的图象与性质及其应用-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题01 函数的图象与性质及其应用 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究； 2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题； 3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题； 4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求； 5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想； 6.函数中的新定义问题. 【压轴典例】 例1．（2021·安徽淮北市·高三）设，若的最小值为，则的值为（ ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立.故时，，由二次函数性质可知对称轴，且，解得或（舍去）， 例2．（2021·江苏泰州市·高三期末）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，其中a为常数，则 的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数 满足 ，所以函数 的周期为 ，又由当 时， ，因为函数 奇函数，所以 ，所以 ， 则 ， ，令 ，可得 ，可得 ，所以 . 例3．（2020·济南市历城第二中学高三期中）设函数 其中 表示 中的最小者.下列说法错误的是（ ） A．函数 为偶函数 B．当 时，有 C．当 时， D．当 时， 【答案】D 【详解】画出 的图象如图所示： 对A，由图象可知： 的图象关于 轴对称，故 为偶函数，故A正确；对B，当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ； 当 时， ，此时有 ，故B成立；对C，从图象上看，当 时，有 成立，令 ，则 ，故 ，故C正确；对D，取 ，则 ， ， ，故D不正确． 例4.(2020·天津高考·T9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-)∪(2,+∞) B.(-∞,-)∪(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【解题指南】由g(0)=0,结合已知,将问题转化为y=|kx-2|与h(x)=(x≠0)有3个不同的交点,分k=0,k<0,k>0三种情况,数形结合讨论即可得到答案. 【解析】选D.注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=(x≠0)恰有3个实根即可,令h(x)=,即y=|kx-2|与h(x)=(x≠0)的图象有3个不同的交点.因为h(x)==当k=0时,此时y=2,如图1,y=2与h(x)=有1个交点,不满足题意; 当k<0时,如图2,此时y=|kx-2|与h(x)=恒有3个不同的交点,满足题意; 当k>0时,如图3,当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程得x2-kx+2=0, 令Δ=0得k2-8=0,解得k=2(负值舍去),所以k>2. 综上,k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 例5.【2018年理新课标I卷】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即. 例6.(2020·全国卷Ⅱ文科·T10)设函数f(x)=x3-,则f(x) (　　) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0