考点39 利用导数求极值最值-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点39 利用导数求极值最值 知识理解 一．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． （3） 注意事项 ①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点) ②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点 二．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 考向一 求极值考向分析 【例1】（2021·全国课时练习）函数在上的极大值点为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的导数为， 因为，由，可得，解得. 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以使得函数取得极大值的的值为， 故选：C. 【举一反三】【方法总结】 利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 1．（2021·石泉县石泉中学）函数的极小值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； 所以当时，函数取得极小值， 极小值为. 故选：A. 2．（2021·河南新乡市）已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为函数在图象在处的切线方程为， 所以，，解得，. 由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A. 考向二 已知极值求参数 【例2】（2021·福建南平市）已知是函数的极小值点，则函数的极小值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得， 因为是函数的极小值点， 则，即，解得，可得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当是函数的极小值点，所以函数的极小值为.故选：B. 【方法总结】 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值． 【举一反三】 1．（2020·全国课时练习）若函数的极小值点是，则的极大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数，可得， 所以，解得，故， 可得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为．故选：C. 2．（2020·安徽省太和第一中学）若函数的极值为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值； 当时，令，可得，此时函数单调递减； 令，可得，此时函数单调递增. 所以，函数的极小值为， 令，则且，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以，，由于，. 故选：D. 3（2021·全国课时练习）若函数在处取得极小值，则a=__________． 【答案】2 【解析】由可得， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得或， 若，则， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上：. 故答案为：2. 4．（2021·全国高二课时练习）已知函数，当时函数的极值为，则__________． 【答案】 【解析】已知函数, 所以 , 由题意知 ， ， 即解得或 当时, 此时函数在上是增函数,函数没有极值,不合题意; 当时, 令,解得, 当或时, ; 当时, ; 所以函数在和上是增函数, 函数