压轴01 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴01 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性 一、单选题 1. 已知数是定义域在R上的偶函数，且，当时，，则关于x的方程在上所有实数解之和为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】解：因为，则，所以的最小正周期为2， 当时，， 则， 则，， 又由得的图象也关于对称， 作出函数和在上图象如图： 由图象可得，有7个交点， 除外，两两关于对称， 则实数解的和为， 故选：D． 2. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，满足，，且在上单调递增，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：因为，所以函数关于对称， 又因为，所以函数为奇函数， 所以， 令，则 令，则 由得，，即函数的周期为4． 又因为在上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象， 而，，所以，， ，所以， 因此． 故选：D． 3. 方程的实根个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】解：显然不满足方程，因此． 在原方程两边同乘以得， 解得或． 令，则原方程的解的个数就是函数和与图象的交点数． 当且时，，则， 由得；由得， 因此随x变化，和的变化情况如下表： x e 0 e 因为当时，且函数是奇函数， 所以作函数、和的图象如下： 由图象可知：函数和与图象的交点数为5， 因此原方程的实根个数为5． 故选D． 4. 已知函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 令， 则， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 可得． 故选A 5. 定义在R上偶函数满足，且当时，若在区间上，函数恰有五个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：定义在R上的函数满足，， 函数是偶函数，且函数的图象关于对称，故函数的周期是2， 若在区间上方程恰有五个不同的零点， 则在区间函数与函数的图象恰有五个不同的交点，  当时， 可以得到函数在区间上的图象， 直线过定点，当经过时，两个图象有3个交点，此时，解得 ，不符合题意； 当经过时，两个图象有5个交点，此时，解得， 要使函数与函数的图象在恰有五个不同的交点，由图可知， 则， 故选A． 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时， A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设，则， 当时， ， ， 又是定义在R上的奇函数， ， ， ， 则在上的表达式是． 故选A． 7. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意，“同族函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应． 因此，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调． 函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数在定义域上不单调，可以用来构造“同族函数”； 函数在R上是增函数，所以不能用来构造“同族函数”； 函数在R上是增函数，所以不能用来构造“同族函数”； 函数 在上是减函数，所以不能用来构造“同族函数”； 故选B． 8. 定义在R上的偶函数，满足且在上是减函数，又，是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数是R上的偶函数，且在上是减函数， 所以函数在区间上是增函数，当时，， 又因为，所以函数在区间上是增函数， 又是锐角三角形的两个内角，所以，即， 所以，又， 所以． 故选A． 9. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数， 所以当时，不等式可变为， 设，即函数在上单调递增， 所以在上恒成立． 因此，在上恒成立． 令， 由知，函数在， 所以， 所以，即． 所以实数a的取值范围为：． 故选A． 10. 函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设，定义域为， 则 ， 所以函数是奇函数， 所以有， 易知在上单调递增， 则， 即， 即， 即， 所以 计算得出 ， 则原不等式的解集为． 故选A． 二、填空题 11. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】解：由题意，函数， 求导得， 则由可知恒成立，故在单调递增， 不妨设，则， 从而有恒