第2讲 任意角的正弦、余弦、正切、余切与诱导公式（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第2讲 任意角的正弦、余弦、正切、余切与诱导公式 知识梳理 1.任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 注意： 1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 2.诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。 例题解析 一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、三角函数求值 例1．（2021·上海市行知中学高一期末）是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，可求得的表达式，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为， 所以或， 所以，或， 所以是的必要不充分条件.故选：B 例2．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知，，则等于________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值. 【详解】，，因此，． 故答案为：． 例3．（2021·上海市行知中学高一期末）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为　 　． 【答案】 【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0， 得到sinθ﹣cosθ，把已知条件代入运算，可得答案． 【详解】∵θ是△ABC的一个内角，且， ∴sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ﹣cosθ，故答案为 ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sinθ﹣cosθ 换成是解题的关键． 例4．已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值． 【难度】★ 【解析】解：为第四象限的角， 例5．已知，求的值． 【难度】★ 【答案】1 例6．已知 ，求． 【难度】★★ 【解析】: ∵,∴角的终边不在坐标轴上. 当是第一象限或第二象限角时 , 当是第三象限或第四象限角时 , 例7．已知，求和的函数值． 【难度】★★ 【解析】解：由方程组，解得。 若是第一、四象限的角则，。 若是第二、三象限的角得：， 例8．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）对已知条件两边同时平方结合可得，结合，可得，进而可得，计算即可求解； （2）将化切为弦再通分，利用整体代入即可求解. 【详解】（1）由可得， 即，解得， 因为，所以，可得， 所以， 所以， （2） . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出，根据其符号判断所在的象限，可判断的符号. 巩固练习 1.已知，，求、的值． 【难度】★ 【解析】，，， ． 2.已知，求的值． 【难度】★ 【解析】解：∵,　　∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类． 当是第二象限角时， 当是第三象限时, 3.已知，求和． 【难度】★ 【解析】 ∵,∴ ∵,∴是第一或第三象限角 当是第一象限角时, 当是第三象限角时, 4.已知（），求，的值． 【难度】★★ 【解析】由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解． 解：因为，所以， （1）当b=0时，角的终边在轴上， 若角的终边在轴的非负半轴上时， ，不存在． 若角的终边在轴的非正半轴上时， ，不存在． （2）当，且时，则角为象限角， 若为第一或第二象限时，． 若为第一或第二象限时，． 特别提示：本题易错解为： 因为， 所以（1）当为第一象限角时，； （2）当为第二象限角时，； （3）当为第三象限角时，； （4）当为第四象限角时，． 其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也时，角的终边在轴上，此时不存在，所以