第6讲 正余弦函数图像及其性质（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第6讲 正余弦函数图像及其性质 知识梳理 1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数，的图象中，五个关键点是： 2、正弦函数的图像： 把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。 由正弦函数图像可知： （1）定义域： （2）值域： ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以， 即 ，也就是说，正弦函数的值域是亦可由正弦图像直接得出。 （3）奇偶性：奇函数 由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称 （4）单调递增区间：； （5）单调递减区间：； （6）对称中心：（）； （7）对称轴： （8）最值：当且仅当取最大值； 当且仅当取最小值。 （9）最小正周期： 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期 由此可知都是这两个函数的周期 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 注意： 1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界； 2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数; 3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数的图像： （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：偶函数 （4）单调递增区间：， （5）单调递减区间： （6）对称中心：（） （7）对称轴： （8）最值：当且仅当取最大值； 当且仅当取最小值。 （9） 最小正周期：； 例题解析 一、正余弦函数的图像 例1.画出下列函数在上的图象 （1） （2） 【难度】★ 【答案】如图 【解析】(1) 第一步——列表（见下表） 第二步：描点、作图（见右上图） (2) 第一步——列表（见下表） 第二步：描点、作图（见右上图） 例2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的的集合： 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）作出正弦函数的图像： 由图形可以得到，满足条件的的集合为： （2）作出余弦函数的图像： 由图形可以得到，满足条件的的集合为： 例3.定义函数，根据函数的图像与性质填空： (1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，. 【难度】★★ 【答案】(1) ;(2) ; (3) ; (4) 例4.函数的大致图像是（ ）． 【难度】★★★ 【答案】C 分析：观察四个图像，A、D图像关于原点对称，是奇函数；B图像关于轴对称，是偶函数；C图像非奇非偶函数。那么该函数的大致图像便迎刃而解． 例5．（2019·上海长宁区·高一期末）函数（且）的图像是下列图像中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 例6．（2020·上海高一课时练习）图中的曲线对应的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|. 例7．（2020·上海高一课时练习）函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状． 【详解】由题意得， 所以其图象的大体形状如选项C所示． 故选C． 【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题． 【巩固训练】 1．用五点作图法作函数在上的图象 【难度】★ 【答案】如图 【解析】(1) 第一步——列表（见下表） 第二步：描点、作图（见右上图） 2．已知，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】D 3．函数的部分图像是( ) 【难度】★ 【答案】 4．同一坐标系中，函数的图像和直线的交点个数有___个 【难度