专题02 三角恒等变换-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题02 三角恒等变换 【要点提炼】 三角函数公式： (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝. (2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝.sin(x＋φ)，其中tan φ＝ 【方法指导】 常见三角恒等变换的技巧: 1、 “角变换”技巧：角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角的”的“和、差、倍角”，然后运用相应的公式求解； 2、 “名变换”技巧：名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式、平方关系也能进行名变换； 3、 “常数变换”技巧：在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ， ， 等； 4、 “升降幂变换“技巧：当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有： ， ， ，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”； 5、 “公式变用”技巧：几乎所有公式都能变形用或逆向用，如 、 、 等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧； 6、 “辅助角变换”技巧：通常把 叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为 的形式，来研究其图像与性质； 7、 “换元变换”技巧：有些函数，式子里同时出现 （或 ）与 ，这时，可设 （或 ，则 （或 ，把三角函数转化为熟悉的函数求解。 命题点一 三角恒等变换与求值、求角问题 【典例1】 （1）．（2021·全国高三专题练习）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． （2）（2020·全国高三专题练习）已知 ，若 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决条件求值问题的三个关注点： 1.分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角； 2.正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示； 3.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小。 【拓展练习】 1.（2020·全国高一单元测试）已知 ， ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2. （2020·全国高一课时练习）已知函数 （ ），且 （ ），则 ______. 命题点二 三角恒等变换与三角函数性质问题 【典例2】 （2020·汪清县汪清第六中学高三三模（理））已知函数 . （1）求 的值. （2）求 的最小正周期及单调递增区间. 【方法总结】 将 化为 的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称轴等性质。 【拓展练习】 3.（2020·吉林高三其他模拟（文））已知函数 ． （1）求 的最小正周期及 的图象的对称轴方程； （2）若 ， ，求 的取值范围． 命题点三 三角恒等变换与解三角形问题 【典例3】（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且直线 为函数 图象的一条对称轴. （1）求 ； （2）若 ，求 面积的最大值. 【方法总结】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及其有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口。 【拓展练习】 4.（2020·陕西西安市·高新一中高三期末（理））已知函数 . （1）求 的最小正周期和单调递增区间； （2）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点， ，若 ， EMBED Equation.DSMT4 ，求AM. 【专题训练】 一、单选题 1．（2021·广西高三其他模拟（文））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2020·河南高三其他模拟（理））若角 的终边在直线 上，则 （ ） A．2 B． C． D．1 3．（2021·安徽马鞍山市·高三一模（文））将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A．在区间[0， ]上单调递增 B．最小正周期为 C．图象关于 对称 D．