精做01 数列-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做01数列 一、等差数列与等比数列 (一)利用方程思想求等差数列与等比数列的通项公式 【例1】（2021.陕西省咸阳市高三模拟）设数列是公差大于零的等差数列,已知,. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足,求. 【解析】（1）设等差数列的公差为, ,又, ,解得或, ,,. （2） 当为奇数时,, 当为偶数时,, 故是以2为周期的周期数列,且, . 给出数列是等差(比)数列求通项一般是利用方程思想把问题转化为关于a1和d(q)的方程组,通过解方程求a1和d(q),再利用等差(比)数列的通项公式求通项. 【对点训练1】（2021. 浙江省嵊州市高三期末）已知数列中,,(). （1）证明：数列是等比数列,并求前项的和； （2）令,求证：. 【解析】（1）因为,所以. 又,所以,从而, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 所以,即； 所以. （2）由（1）可知,,所以. 所以, . 当时,. 当时, (二)等差数列与等比数列的判断与证明 【例2】（2021. 山西省吕梁市高三第一次模拟）数列满足,. （1）求证：数列为等比数列； （2）设,求的前项和. 【解析】（1）由,得, 又,所以为首项为1,公比为的等比数列. （2）由（1）得,,即. 所以① ② 由① - ②得, 所以. (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义,证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项,即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 ①利用定义,证明(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项,即证明a＝an－1an＋1(n≥2,n∈N*)． 【对点训练2】(2021.浙江省杭州市高三期末)在数列中,,成等比数列,公比为. （1）若,求； （2）若成等差数列,公差为,设. ①求证：为等差数列； ②若,求数列的前项和. 解：（1）由已知,,所以, 又,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列, 所以； （2）①对任意的,,,成等差数列, 所以,即,即, 所以,即, 所以成等差数列,其公差为1. ②若,则,,, 所以,又,所以, 从而,即. 所以,可得, 则, 所以,即为等差数列, 所以. 二、数列求和 (一)裂项求和 【例3】（2021.宁夏固原高三期末）等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式. （2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和. 【解析】（1）,即,所以,又因为 所以 又因为,所以,所以. 所以 (2) 因为所以 设数列的前项和为,则 所以的前项和为. (1)裂项求和的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而在求和时达到某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件．要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的． (2)常用的裂项公式 ①若{an}是等差数列,则＝,＝； ②＝； ③＝； ④＝－,＝(－)． ⑤ ⑥ ⑦ 【对点训练3】(2021.安徽省芜湖市高三期末)设数列的前项和为,已知,. （1）求数列的通项公式； （2）设,记数列的前项和为,求证：. 【解析】（1）∵,∴ ∴,即∴. 又, ∴,,∴也满足. ∴是以1为首项,2为公比的等比数列,∴ （2）由（1）知. ∴ . (二)错位相减法求和 【例4】（2021.湖北省高三模拟演练）在①；②,；③,这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加解答. 问题：设数列的前项和为,___________,若,求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分. 【解析】若选①, 当时,；当时,, 又由当满足,所以,所以, 则, 所以 , 所以数列的前项和, 若选②,, 由,即,可得数列是等差数列, 设数列的公差为,则,解得,所以, 所以, 则, 所以 , 所以数列的前项和, 若选③,, 由,可得,所以,即, 又由,所以,所以, 所以, 则, 所以 , 所以数列的前项和. 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列．写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．同时注意的是相减后得到部分求等比数列的和,此时一定要查清其项数．为保证结果正确,可对得到的和取n＝1,2进