安徽省淮南一中2020-2021学年高二下学期开学考理科数学试题

2020~2021学年高二年级下学期开学联考数学试卷（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此是偶函数，以上推理 A. 结论不正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 【答案】C 2. “ ”是“方程 表示焦点在 轴上椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 3. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 用反证法证明“至少存在一个实数 ，使 成立”时，假设正确的是（ ） A. 至少存在两个实数 ，使 成立 B. 至多存在一个实数 ，使 成立 C. 任意实数 ， 恒成立 D. 不存在实数 ，使 成立 【答案】D 5. 设 ，若 ，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 已知函数 在 处有极值，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若 // ， 则 // B. 若 则 C. 若点 到 平面距离相等，则直线 D. 若 // 则 【答案】D 8. 若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为 的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9. 在三棱锥 中，PA，PB，PC两两垂直，且 ，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 10. 如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 11. 如图， ， 是双曲线 左、右焦点，过 的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 的中点，且 ，则 （ ） A. 4 B. C. 6 D. 9 【答案】A 12. 已知 ， ， ，点 在抛物线 上，则 最小值为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题“ ， ”的否定是____________. 【答案】 ， 14. 函数 的图象在点 处的切线的方程是______. 【答案】 15. 如图，中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆在x轴上有共同的焦点 ， ，点M，N是双曲线的左､右顶点，点A，B是椭圆的左､右顶点.若 ，M，O，N， 将线段AB六等分，则双曲线与椭圆的离心率的乘积为______. 【答案】 16. 已知四边形 为矩形， ，平面 平面 ， ，若四棱锥 外接球的表面积为 ，则四棱锥 体积的最大值为_________________． 【答案】 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 ：方程 对应的图形是双曲线； ：函数 的最大值不超过0.若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围. 【答案】 18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 19. 如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ， ， 分别为 ， 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连结 . （1）证明： 平面 ； （2）在翻折过程中，当 时，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 20. 已知函数 （ …是自然对数的底数） . （1）求 的单调区间； （2）求函数 的零点的个数. 【答案】（1）当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2） 时函数 没有零点； 或 时函数 有且只有一个零点； 时，函数 有两个零点. 21. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 是抛物线 上异于点 的两个不同的动点，当直线 过点 时， 的最小值为 . （1）求抛物线 的方程； （2）若 ，证明：直线 恒过定点. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 22. 已知 ， 是椭圆 ： ( 的左､右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为 ， 的中点，直线 的斜率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 的右焦点 的直线 与椭圆 分别相交于 ， 两点，且与圆 ： 相交于 ，