专题18数字及图形的规律型问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题18数字及图形的规律型问题 【方法指导】 数字和图形的变化规律每年中考都会考查到，考到的知识点比较多，主要有以下几种类型： （1） 数字的变化规律，主要是数字的末尾数字变化规律、高中数学知识的等差数列、等边数列、数列的递推公式和求和公式等. （2） 数与式的变化规律类，常结合高中的数学知识有：一元二次不等式、分式不等式的解法、不等式的基本性质、二项式定理的展开、指数和幂数函数、裂项法等. （3） 图形的变化规律型，主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合． （4） 数形结合类，常涉及到函数中点的变化，首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系． 【题型剖析】 【类型1】数字与代数式的变化规律 【例1】（2020•云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（　　） A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na 【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a． 【解析】∵a＝（﹣2）1﹣1a， ﹣2a＝（﹣2）2﹣1a， 4a＝（﹣2）3﹣1a， ﹣8a＝（﹣2）4﹣1a， 16a＝（﹣2）5﹣1a， ﹣32a＝（﹣2）6﹣1a， … 由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a． 故选：A． 【变式1-1】（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　） A．135 B．153 C．170 D．189 【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题． 【解析】根据规律可得，2b＝18， ∴b＝9， ∴a＝b﹣1＝8， ∴x＝2b2+a＝162+8＝170， 故选：C． 【变式1-2】（2020•玉林模拟）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…则根据其中规律得到22020的个位数字是（　　） A．2 B．4 C．8 D．6 【分析】根据题目中的计算可以发现个位数字的变化规律，从而可以求得22020的个位数字，本题得以解决． 【解析】∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，… ∴这些数的个位数字依次以2，4，8，6循环出现， ∵2020÷4＝505， ∴22020的个位数字是6； 故选：D． 【变式1-3】（2020•蒙阴县二模）观察下列各式： 13＝12 13+23＝32 13+23+33＝62 13+23+33+43＝102 …… 猜想13+23+33+…+103＝（　　） A．502 B．552 C．562 D．602 【分析】根据规律写出算式，进而解答即可． 【解析】13＝12， 13+23＝32， 13+23+33＝62， 13+23+33+43＝102， …… 所以13+23+33+…+103＝（1+2+3+…+10）2＝552， 故选：B． 【变式1-4】（2020•武汉模拟）我们将如图所示的两种排列形式的个数分别叫作“三角形数”（如1，3，6，10…）和正方形数（如1，4，9，16…）在不大于2020数中，设最大的三角形数为m，最大的“正方形数”为n，则m﹣n的值为（　　） A．60 B．70 C．80 D．90 【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可解答． 【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n，第n个正方形数为n2， 当n＝63时，2016＜2020，当n＝64时，2080＞2020， 所以最大的三角形数m＝2016； 当n＝44时，n2＝1936＜2020，当n＝45时，n2＝2025＞2020， 所以最大的正方形数n＝1936， 则m﹣n＝2016﹣1936＝80， 故选：C． 【类型2】图形的变化规律 【例2】（2020•日照）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（　　） A．59 B．65 C．70 D．71 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n＝10求得答案即可． 【解析】根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+