专题16图形的变换综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题15图形的变换综合问题 【方法指导】 1.图形的平移：①平移后，对应线 段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后 ，对应 角相等且对应角的两边分 别平行、方向相同； ③平移不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等． 2.图形的旋转：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角 度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心 的距离相等． 3.图形的轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 4.图形的中心对称：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等 . 【题型剖析】 【考点1】翻折变换问题 【例1】（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值； （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长． 【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG＝x，则BG＝4﹣x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝90°， 由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°， 在Rt△EPD中，∵EM＝MD， ∴PM＝EM＝DM， ∴∠3＝∠MPD， ∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3， ∵∠ADP＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠1＝∠DPC， ∵∠MOP＝∠C＝90°， ∴△POM∽△DCP， ∴， ∴． 解法二：证明△ABP和△DAE相似，． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x ∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°， ∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°， ∴∠EPG＝∠PDH， ∴△EGP∽△PHD， ∴， ∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x， 在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得x（负值已经舍弃）， ∴BG＝4， 在Rt△EGP中，GP， ∵GH∥BC， ∴△EGP∽△EBF， ∴， ∴， ∴BF＝3． 【变式1-1】（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S． （1）若DE，求S的值； （2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式． 【分析】（1）根据三角函数的定义得到∠AED＝60°，根据平行线的性质得到∠BAE＝60°，根据折叠的性质得到∠AEC＝∠AEM，推出△APE为等边三角形，于是得到结论； （2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，求得AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，根据勾股定理列方程得到a，于是得到结论． 【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE， ∴AE， ∴tan∠AED， ∴∠AED＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝60°， ∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME， ∴∠AEC＝∠AEM， ∵∠PEC＝∠DEM， ∴∠AEP＝∠AED＝60°， ∴△APE为等边三角形， ∴S（）×1； （2）过E作EF⊥AB于F， 由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE， ∴AP＝PE， 设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x， 则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1， 在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a， ∴S． 【变式1-2】（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片