专题15圆的切线有关证明问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题15 圆的切线有关证明问题 【方法指导】 1. 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2. 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． 3.切线的判定： （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 4.切线长定理： （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （3）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 5.三角形的内切圆和内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【题型剖析】 【类型1】直线和圆的位置关系 【例1】（2020•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可． 【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA， ∴， ∴AC＝4， ∴BC3， ∵r＝3， ∴BC＝r＝3， ∴⊙B与AC的位置关系是相切， 故选：B． 【变式1-1】（2021•武汉模拟）圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（　　） A．当d＝8cm时，直线与圆相交 B．当d＝4.5cm时，直线与圆相离 C．当d＝5cm时，直线与圆相切 D．当d＝10cm时，直线与圆相切 【分析】求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把d与半径5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的半径）． 【解析】已知圆的直径为10cm，则半径为5cm， 当d＝5cm时，直线与圆相切，d＜5cm直线与圆相交，d＞5cm直线与圆相离， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【变式1-2】（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　3cm或5cm　． 【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果． 【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点， ∴⊙O与直线a相切时，切点为H， ∴OH＝1cm， 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示： OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）； 当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示： OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）； ∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm， 故答案为：3cm或5cm． 【变式1-3】（2020•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　AO　． 【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相