专题14圆的有关计算问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题14圆的有关与计算问题 【方法指导】 1.垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 2.圆心角与圆周角 （1）在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 3.圆内接四边形： （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 4. 正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 4.圆的有关计算： （1）扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝ （2）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （3）阴影部分的面积计算常通过添加辅助线转化为规则图形的面积的计算. 【题型剖析】 【考点1】垂径定理及应用 【例1】（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　） A． B．3 C．3 D．4 【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OFBCDF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC． 【解析】连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OFBC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中 ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OFDF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC4， 故选：D． 【变式1-1】（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．2 【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论． 【解析】连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5， ∴OC＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴AM8， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 【变式1-2】（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长． 【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BDAB48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为52cm， ∴OB＝OC＝26cm， 在Rt△OBD中，OD10（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm）， 故选：C． 【变式1-3】（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　26　寸． 【分析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径． 【解析】由题意可知OE⊥AB， ∵OE为⊙O半径， ∴尺＝5寸， 设半径OA＝OE＝r寸， ∵ED＝1， ∴OD＝r﹣1， 则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2， 解得：r＝13， ∴木材直径为26寸； 故答案为：26． 【考点2】弧弦圆心角之间分关系 【例2