专题13四边形的几何综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题13四边形的几何综合问题 【方法指导】 1.平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 2.菱形的性质与判定： 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等， 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 3.矩形的性质与判定： 关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． 4.正方形： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【题型剖析】 【考点1】平行四边形的计算与证明 【例1】（2020•秦淮区二模）图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明． 【分析】（1）要证明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明这个四边形是平行四边形即可； （2）要证四边形AECF是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC． 又∵BE＝DF， ∴AB+BE＝DC+DF， 即AE＝CF． ∵AE＝CF，AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∴AC、EF互相平分． （2）四边形AECF是菱形． 证明：∵AB∥DC， ∴∠AEO＝∠CFO． ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEO＝∠CEO． ∴∠CEO＝∠CFO． ∴CE＝CF． ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形． 【变式1-1】（2020•夷陵区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点． （1）证明：四边形DECF是平行四边形； （2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长． 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DEBC＝6，然后由平行四边形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF，即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴DE∥CF， ∵DF∥CE， ∴四边形DECF是平行四边形； （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC12， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC12＝6， ∵四边形DECF是平行四边形， ∴DE＝CF＝6，DF＝CE， ∵D是边AC的中点， ∴CDAC5， ∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF， ∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6）＝25． 【变式1-2】（2020•九龙坡区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于O，AB∥CD，O为BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若∠EAC＝30°，DE＝CE，CD＝3，连接EO，求△AOE的面积． 【分析】（1）由AAS证得△OAB≌△OCD，得出AB＝CD，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得出CE＝3，由含30°角直角三角形的性质得出AC＝2CE＝6，由勾股定理得AE＝3，则S△ACEAE•CE，由（1）得四边形ABCD为平行四边形，得出OA＝OC，则S△AOES△ACE，即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∵O为BD的中点， ∴OB＝OD， 在△OA