专题12相似三角形及锐角三角函数问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题12相似三角形及锐角三角函数问题 【方法指导】 1.判定三角形相似的思路： ①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定； ②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例； ③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等； ④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例； ⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例. 2.相似的基本模型 （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形 ，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 3.锐角三角函数的应用问题： (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题 的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得 到问题的解． 【题型剖析】 【考点1】平行线分线段成比例定理 【例1】（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解析】∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝5，BC＝6，EF＝4， ∴， ∴DE， 故选：D． 【变式1-1】（2020•香坊区二模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE交于点G，若AG＝2，DG＝1，DF＝5，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解析】∵AB∥CD∥EF， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（2020•拱墅区模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先判断四边形DECF为平行四边形得到DE＝CF，再利用平行线分线段成比例，由DE∥BC得到，然后利用比例性质得到，从而可得到DE的长． 【解析】∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF为平行四边形， ∴DE＝CF， ∵DE∥BC， ∴， ∵AE：EC＝1：2， ∴AE：AC＝1：3， ∴， ∴DE＝3． 故选：C． 【变式1-3】（2020•太和县模拟）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当或时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断． 【解析】当或时，DE∥BD， 即或． 故选：D． 【考点2】相似三角形的性质 【例2】（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【解析】∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15， ∴△FHB和△EAD的周长比为2：1， ∵△FHB∽△EAD， ∴2，即2， 解得，EA＝3， 故选：A． 【变式2-1】（2020•温州三模）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．利用相似三角形的性质构建方程组，求出x，y（用a表示），再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解决问题． 【解析】由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y． ∴AH＝y+2a，BE＝x+a， ∵△ADH∽△BAE， ∴， ∴， 解得xa，ya， ∵∠AHD＝90°， ∴ADa，CDADa， ∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：a， 故选：D． 【变式2-2】（2020•梁溪区一模）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．6 【分析】当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，根据角平分线的