专题11三角形的综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题11三角形的综合问题 【方法指导】 1.全等三角形解决问题的常见技巧： （1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）． （2）作辅助线构造全等三角形 ①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． ②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 2.等腰三角形解题技巧： （1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． （2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3.等边三角形常用方法与思路： （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【题型剖析】 【考点1】三角形有关角的综合计算 【例1】（2020春•南京期末）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　85或100　°； （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数； （2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数； （3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数． 【解析】（1）如图， 当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°； 当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°； 故答案为：85或100； （2）∵BP⊥CP， ∴∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， 又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠ABC∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180° ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°． （3）分4种情况进行画图计算： 情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠BPC∠Am°； 情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时， ∴∠BPC∠Am°； 情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠BPC∠A∠ABCm°n°； 情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时， ①当m＞n时，∠BPC∠A∠ABCm°n°； ②当m＜n时，∠P∠ABC∠An°m°． 综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°n°或m°n°或n°m°． 【变式1-1】（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝9