专题09二次函数压轴综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专用）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版） 专题09二次函数压轴综合问题 【考点1】二次函数与面积综合问题 【例1】（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 【变式1-1】（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上． （1）b＝ 　； （2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标． 【变式1-2】（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C． （1）求C点坐标，并判断b的正负性； （2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC． ①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式； ②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围． 【变式1-3】（2020•姑苏区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数yx2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数的表达式； （2）当m≤x≤m+1时，二次函数yx2+bx+c的最大值为﹣2m，求m的值； （3）如图2，点D为直线AC上方二次函数图象上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值． 【考点2】二次函数与相似综合问题 【例2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：yx2x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标； （3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标． 【变式2-1】（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是　 　； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围_______________________ 【变式2-2】（2020•镇江模拟）二次函数y＝a（x﹣3）2﹣1的图象记为抛物线C，它与x轴交于点A（2，0）、B，其对称轴与x轴交于点E，顶点为D，点P（m，n）在抛物线C上（异于点A、B、D）．小聪以点E为位似中心，把A、B、D、P为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、D的对应点的抛物线C1（如图），小明认为还可以找到一条过A、B、D的对应点的抛物线C2． （1）a＝　 　；抛物线C2对应的函数表达式为　 　； （2）试证明：点P的对应点在抛物线C1或C2上；（选择其中一种情形证明） （3）设点P（1，3）落在抛物线C1、C2上的对应点分别为P1、P2，点Q在这个平面直角坐标系上，P1Q＝2，DQP2Q的最小值为 ．（直接写出结果） 【变式2-3】（2020•昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）交x轴于点A，B（4，0），交y轴于点C（0，2），且抛物线的对称轴经过点（，0），过点A的直线y＝﹣x+m交抛物线于另一点D，点E（1，n）是该抛物线上一点，连接AD，BC，BD，BE． （1）求直线AD及抛物线的函数表达式；