专题25 椭圆（解答题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题25 椭 圆（解答题） 1．已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且． （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值． 【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文） 【答案】（1）的方程为，的方程为；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为， 所以有：，所以，， 所以椭圆的方程为，抛物线的方程为； （2）由（1）可知的坐标为， 设直线的方程为，到的距离为， 则，联立， 可得，则， ， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为1． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： 的左焦点为F1(－2，0)，且点P(0，2)在椭圆C1上． （1）求椭圆C1的方程； （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝8x相切，求直线l的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以， 点代入椭圆，得，即， 所以，所以椭圆的方程为； （2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为， 由，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以△ 整理得①，由，消去并整理得， 因为直线与抛物线相切，所以△，整理得②， 综合①②，解得或， 所以直线的方程为或． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 3．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、．设是椭圆上一点，满足⊥轴，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解；（2）设直线，与椭圆方程联立，，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知，解得，， 所以椭圆的标准方程是； （2）设直线，，，直线与椭圆方程联立 ，得，，， ． 4．椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）． （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值． 【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理） 【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得，则，椭圆方程为； （2）解法一（常规方法)：设，联立 化简可得， 直线与椭圆交于两点， 即，解得， 由根与系数关系， ，直线得斜率和为定值． 解法二（构造齐次式)：由题直线恒过定点 ①当直线不过原点时，设直线为， 则，即有， 由有， 则， 整理成关于的齐次式： ， 进而两边同时除以，则，令， 则， ②当直线过原点时，设直线的方程为， ， 综合直线与直线的斜率之和为定值． 【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的条件，确定出的值，进而求得的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果． 5．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）点在上，且，证明：直线过定点． 【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理） 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为． （2）设点，， ，， 整理可得…① 当直线斜率不存在时，显然不成立，则可设， 联立得， 由得， 则，，， ， 代入①式化简可得， 即，或 则直线方程为或， 直线过定点或，又和点重合，故舍去，直线过定点． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点． 6．已知椭圆的离心率为，且过点，右顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求点到直线距离的最大值． 【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末 【答案】（1）；（2）最大值为． 【解析】（1）由题，解得，所以的标准方程为； （2）若直线斜率不存在，设， 则，解得，此时重合，舍去． 若直线斜率存在，设直线， 联立，得， 所以， 由题意，即 化简得 因此 化简得，即 若，则，直线过点