专题11函数的交点综合问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题11函数的交点综合问题 ( 经典例题 ) 【例1】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ （3）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y＝3翻折得到新图象为G，若与直线y＝x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． （3）求出翻折后所得图象的解析式，然后分别求出原图象和直线，翻折后所得图象与直线有一个交点时的m的值，即可求得新图象为G与直线y＝x+2有三个交点时的m的取值． 【解析】（1）证明：∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）＝4m2﹣4m2﹣12＝﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解：y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3， 把函数y＝（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0）， 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 所以，把函数y＝x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． （3）翻折后所得图象的解析式y＝﹣（x﹣m）2+3， ①当直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+3有一个交点时，则， 整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0 ∴△＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝0，即m． ②当直线y＝x+2与抛物线y＝﹣（x﹣m）2+3有一个交点时，则， 整理得，x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0， ∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝0，即m． ∴当m时，新图象为G，与直线y＝x+2有三个交点． 【例2】已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）． （1）求b和c（用m的代数式表示）； （2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值； （3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x1＝m﹣2，x2＝2m+1，再通过根与系数的关系求得结果； （2）求得顶点坐标为（，），分三种情况：①当；②当﹣21；③当1．根据二次函数的性质与最大值列出m的方程进行解答； （3）把A、B的坐标分别代入解析式求得m的值，然后根据题意即可求得． 【解析】（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x1＝m﹣2，x2＝2m+1， ∴b＝x1+x2＝3m﹣1， c＝x1x2＝（m﹣2）（2m+1）＝2m2﹣3m﹣2； （2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为（，）， ①当，即m＜﹣1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣2时，y的值最大为：﹣4﹣2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2﹣3m＝1， 解得，m＝﹣1（舍去），或m（舍去）； ②当﹣21，即﹣1≤m≤1时，y有最大值为y1， 解得，m＝﹣1，或m＝﹣5（舍去）； ③当1，即m＞1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y的值最大为：﹣1+（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2+6m＝1， 解得，m，或m（舍去）． 综上，m＝﹣1或． （3）设线段AB的解析式为y＝kx+b（﹣1≤x≤2）， 把A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m）代入得，解得， ∴线段AB为：y＝3mx﹣2m2（﹣1≤x≤2）， 由3mx﹣2m2＝﹣x2+（3m﹣1）x﹣（2m2﹣3m﹣2），整理得x2+x﹣3m﹣2＝0（﹣1≤x≤2）， 当△＝1+4（3m+2）＞0时，m， ∵二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点， ∴（﹣1）2+（﹣1）﹣3m﹣2≥0，22+2﹣3m﹣2≥0， ∴m， ∴综上所述，m的取值范围为m． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4），过点C（﹣6，1）的双曲线y（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E． （1）填空：OA＝　6　，k＝　﹣6　，点E的坐标　（，4）　； （2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，t2+5t）与点N（﹣t﹣3，t2+3t）的直线交y轴于点F，点P是过点M，N两点的抛物线yx2+bx+c的顶点． ①求