专题10相似型综合问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题10相似综合问题 ( 经典例题 ) 【例1】（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO，BO：CO＝1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　4　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝4，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【解析】（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB＝∠OAC＝75°． ∵∠BOD＝∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴． 又∵AO， ∴ODAO， ∴AD＝AO+OD＝4． ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB， ∴AB＝AD＝4． 故答案为：75；4． （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC＝∠BEA＝90°． ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴． ∵BO：OD＝1：3， ∴． ∵AO＝3， ∴EO， ∴AE＝4． ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2， 解得：BE＝4， ∴AB＝AC＝8，AD＝12． 在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2， 解得：CD＝4． 【例2】在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）． （1）如图1，若EF∥BC，求证： （2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值． 【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得，根据（）2即可得证； （2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得，根据即可得证； （3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM＝S△ACM、，设a，利用（2）中结论知、a，从而得a，结合a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案． 【解析】（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴（）2•； （2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立， 分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴， ∴； （3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN， 则MN分别是BC、AC的中点， ∴MN∥AB，且MNAB， ∴，且S△ABM＝S△ACM， ∴， 设a， 由（2）知：，a， 则a， 而a， ∴aa， 解得：a， ∴． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，． （1）求b的值． （2）动点C从A点出发以2个单位/秒的速度沿x轴的正半轴运动，动点D从B点出发以1个单位/秒的速度沿y轴的正半轴运动．运动时间为t（t＞0），过A作x轴的垂线交直线CD于点P，过P作y轴的垂线交直线AB于点F，设线段BF的长为d（d＞0），求d与t的函数关系式． （3）在（2）的条件下，以点A为圆心，2为半径作⊙A，过点C作不经过第三象限的直线l与⊙A相切，切点为Q，直线l与y轴交于点E，作QH⊥AE于H，交x轴于点G，是否存在t值，使？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由直线方程求得点A、B的坐标，由此求得OA、OB的长度，所以在直角△OAB中，由勾股定理来求b的值； （2）根据题意作出答图2，利用（1）中直线方程和直线上点的坐标特征求得P点的坐标，则利于点与坐标的性质和勾股定理得到关于t的绝对值方程：2，即|t﹣1|＝2t﹣2（t＞0），通过解该方程可以求得关系式； （3）根据题意作出答图3，利用切线的性质和相似三角形的判定定理“两角法”推知△GAH∽△EAO和△A